Homomorfismo y subgrupos normales

Question

Supongamos que $\phi : G \to G'$ es un homomorfismo entre los grupos $G$ y $G'$ . Sea $N'$ sea un subgrupo normal de $G'.$ Demostrar que la imagen inversa de $N'$ es un subgrupo normal de $G$ .

¿Cómo puedo demostrarlo utilizando las definiciones?

Una prueba que se dio me confundió. La prueba dice:

Consideremos el homomorfismo $\phi': G' \to G'/N'$ entonces $N'$ es el núcleo de $\phi'$ (¿por qué?). Ahora considere la composición de $\phi$ y $\phi'$ entonces la imagen inversa $N$ es el núcleo de $\phi' \circ \phi$ (de nuevo, ¿por qué?).

Answer 1

Prueba alternativa:

Definir $N=\left\{ x\in G\mid\phi\left(x\right)\in N'\right\} $ . Entonces $x,y\in N\Rightarrow xy^{-1}\in N$ desde $\phi\left(xy^{-1}\right)=\phi\left(x\right)\phi\left(y\right)^{-1}\in N'$ . Esto demuestra que $N$ es un subgrupo de $G$ . Sea $n\in N$ y $g\in G$ . Entonces $\phi\left(gng^{-1}\right)=\phi\left(g\right)\phi\left(n\right)\phi\left(g\right)^{-1}\in N'$ porque $N'$ es normal. Esto demuestra que $gng^{-1}\in N$ y se ha demostrado es ahora que $N$ es un subgrupo normal de $G$ .

Cuando $\nu:G'\rightarrow G'/N'$ es el mapa natural entonces $\psi=\nu\circ\phi:G\rightarrow G'/N'$ . Observe que $N'$ es el núcleo de $\nu$ por lo que el conjunto $N=\left\{ x\in G\mid\phi\left(x\right)\in N'\right\} $ es el núcleo de $\psi$ .

Todo núcleo es un subgrupo normal, por lo que esto también demuestra que $N$ es un subgrupo normal.

En su pregunta $\nu$ se denota como $\phi'$ .

Answer 2

Si quieres probar esto por definición: Sea $y\in \phi^{-1}(N')$ y $g\in G$ . Entonces quiere saber si $gyg^{-1}\in \phi^{-1}(N')$ . Si es así, $\phi^{-1}(N')$ es normal. Para comprobarlo, calculamos

$$\phi(gyg^{-1}) = \phi(g) \phi(y) \phi(g^{-1}) = \phi(g) \phi(y) (\phi(g))^{-1} \in N'$$

como $\phi(y)\in N'$ . Así, $\phi^{-1}(N')$ es normal.

Answer 3

Un elemento de $G'$ está en el núcleo de $\phi'$ precisamente cuando se encuentra en el coset $e N' = N'$ . El núcleo de la composición $\phi' \circ \phi$ es el conjunto de elementos $x$ tal que $\phi'(\phi(x)) = 0$ . Estos son precisamente los elementos $x$ para lo cual $\phi(x) \in $ ker $(\phi')$ que es la imagen inversa de $N' = $ ker $(\phi')$ en $\phi$ .