No es difícil ver que
$$X_t := \exp \left(\sqrt{2} B_t \right)$$
resuelve la EDE dada. (Se puede utilizar la fórmula de Itô para comprobarlo o utilizar algunos métodos estándar para las EDEs lineales para obtener esta solución). Además, por la fórmula de Itô
$$f(t,X_t)-\underbrace{f(0,x_0)}_{x_0} = \sqrt{2} \int_0^t e^{-s} \cdot X_s \, dB_s + \int_0^t e^{-s} \cdot X_s + (-e^{-s} \cdot X_s) \, ds \\ = \sqrt{2} \int_0^t e^{-s} \cdot e^{\sqrt{2} B_s} \,dB_s \\ \Rightarrow f(t,X_t) = \underbrace{\sqrt{2} \int_0^t e^{\sqrt{2} B_s-s} \,dB_s}_{M_t} + \underbrace{x_0}_{A_t}$$
donde $x_0=1$ . Sea
$$g(s,w) := \sqrt{2} \cdot e^{\sqrt{2} B(s,w)-s}$$
Entonces $g \in L^2(\lambda_T \otimes \mathbb{P})$ es decir
$$\int_0^T \int_\Omega g(s,w)^2 \, d\mathbb{P} \, ds <\infty$$
Existe un resultado general que dice que esta condición implica que $M_t$ es una martingala (y no sólo local). Además,
$$\langle M,M \rangle_t = \int_0^t |g(s,w)|^2 \, ds$$
(véase René L. Schilling/Lothar Partzsch: "Brownian Motion - An Introduction to stochastic processes", Teorema 14.13).
En cuanto a la integral $\mathbb{E}(e^{-\tau} \cdot X_\tau)$ : Obsérvese que
$$\tau = \inf\{t \geq 0; X_t=2-t\} = \inf\{t \geq 0; \sqrt{2} B_t = \ln(2-t)\}$$
Ahora dejemos que
$$\sigma := 2\tau = \inf\{t \geq 0; \underbrace{\sqrt{2} B_{\frac{t}{2}}}_{=:W_t} = \ln (2-t/2)\}$$
donde $(W_t)_{t \geq 0}$ es de nuevo un movimiento browniano (propiedad de escala). Así,
$$\mathbb{E}(e^{-\tau} \cdot X_\tau) = \mathbb{E}(e^{-\tau+\sqrt{2} B_\tau}) = \mathbb{E}(e^{-\frac{\sigma}{2}+W_\sigma}) \stackrel{\ast}{=} 1$$
En $(\ast)$ aplicamos la identidad exponencial de Wald (véase el comentario).
Nota: Identidad exponencial de Wald: Sea $(W_t)_{t \geq 0}$ un movimiento browniano y $\sigma$ a $\mathcal{F}_t^W$ -tiempo de parada tal que $\mathbb{E}e^{\sigma/2}<\infty$ entonces $\mathbb{E}(e^{W_\sigma-\frac{\sigma}{2}})=1$ . (véase René L. Schilling/Lothar Partzsch: "Brownian Motion - An Introduction to stochastic processes", Teorema 5.14)
