El problema es considerar $u'(t)+u(t)=\cos(u(t))$ planteado como un problema de valor inicial para $t>0$ con la condición inicial $u(0)=u_0$ . En la primera parte se pide demostrar que hay exactamente una solución $u$ correspondiente a cualquier $u_0\in\mathbb{R}$ . Lo hice utilizando el teorema del punto fijo de Banach. La segunda parte pide demostrar que hay un número $\xi$ tal que $\lim_{t\rightarrow\infty} u(t)=\xi$ para cualquier solución $u$ independientemente del valor de $u_0$ . Entiendo que esto tiene que ser cierto cualitativamente considerando $u_0$ igual, por encima y por debajo $\xi$ para $\cos(\xi)=\xi$ pero me pregunto si puedo obtener alguna ayuda para que este argumento sea riguroso.
Respuesta
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Supongamos primero que $u_0>\xi$ . A continuación, la solución $u$ es decreciente y está limitada por debajo de $\xi$ . De ello se desprende que $\lim_{t\to\infty}u(t)=\eta$ existe y $\eta\ge\xi$ . Supongamos ahora que $\eta>\xi$ y llegar a una contradicción.
Un argumento similar funciona si $u_0<\xi$ .
