Cómo encontrar la inversa de $f(x)=\dfrac{-x|x|}{1+x^2}$ ?

Question

Puedo ver que

$f(x)= \dfrac{-(x^2)}{1+x^2}$ para $x \geq 0$ y $f(x)= \dfrac{(x^2)}{1+x^2}$ para $x<0$ .

Ayúdame a proceder a encontrar la inversa.

Answer 1

La función $$f:\quad x\mapsto y:=-{x\>|x|\over 1+x^2}\qquad(-\infty<x<\infty)$$ es impar y monótonamente decreciente, véase la siguiente figura.

Cuando $x\geq0$ tenemos $$y=-{x^2\over 1+x^2}\ ,\tag{1}$$ para que $f$ mapea el $x$ -intervalo $[0,\infty[\ $ en el $y$ -intervalo $\ ]-1,0]$ . Resolver $(1)$ para $x$ da $x^2=-y/(1+y)$ Por lo tanto $$x=\sqrt{{-y\over 1+y}}\qquad(-1<y\leq0)\ ,$$ que está diciendo que $$f^{-1}(y)=\sqrt{{-y\over 1+y}}\qquad(-1<y\leq0)\ .\tag{2}$$ Desde $f$ es impar su inversa $f^{-1}$ también es impar. Por lo tanto, tenemos $$f^{-1}(y)=-f^{-1}(-y)=-\sqrt{{y\over 1-y}}\qquad(0\leq y<1)\ .\tag{3}$$ Las dos fórmulas $(2)$ y $(3)$ puede condensarse en $$f^{-1}(y)=-{\rm sgn}(y)\sqrt{{|y|\over 1-|y|}}\qquad(-1<y<1)\ .$$

Answer 2

Resolver para $x$ $$ y=\frac{x^2}{1+x^2} $$ que tenemos: $$ x^2=\frac{y}{1-y} $$ y para $x<0$ esto da $$ x=-\sqrt{\frac{y}{1-y}} $$

Haz lo mismo para el otro caso.

Answer 3

Puede usted el hecho de que f(x) es una función impar, por lo que si $x>0$ entonces $y=f(x)=\frac{-x^2}{1+x^2}$ Así que $y+yx^2=-x^2$ y $x^2=\frac{-y}{1+y}$ finalmente $f(x)^{-1}=\sqrt{\frac{-x}{1+x}}$ para $x>0$ y $f(x)^{-1}=\sqrt{\frac{x}{1-x}}$ para $x\leq0$