El problema se reduce a una definición adecuada de la definición de Riemann-Stieltjes. En este caso Tom M. Apostol da una descripción mucho mejor (en su Análisis matemático ) en comparación con Walter Rudin (en su Principios del análisis matemático ).
Definición 1 : Dejemos que $P = \{x_{0}, x_{1}, x_{2},\ldots, x_{n}\}$ sea una partición del intervalo $[a, b]$ y que $t_{k}$ sea un punto del subintervalo $[x_{k - 1}, x_{k}]$ . Sea $f$ y $\alpha$ sean funciones definidas y acotadas en $[a, b]$ . Una suma de la forma $$S(P, f, \alpha) = \sum_{k = 1}^{n}f(t_{k})\{\alpha(x_{k}) - \alpha(x_{k - 1})\}$$ se llama suma de Riemann-Stieltjes de $f$ con respecto a $\alpha$ en $[a, b]$ . Decimos que $f$ es integrable de Riemann con respecto a $\alpha$ en $[a, b]$ y escribimos " $f \in R(\alpha)$ en $[a, b]$ "si existe un número $I$ que tiene la siguiente propiedad: Para cada $\epsilon > 0$ existe una parición $P_{\epsilon}$ de $[a, b]$ tal que para todas las particiones $P = \{x_{0}, x_{1}, x_{2},\ldots, x_{n}\}$ de $[a, b]$ con $P \supseteq P_{\epsilon}$ y para cada elección de $t_{k} \in [x_{k -1}, x_{k}]$ tenemos $$|S(P, f, \alpha) - I| < \epsilon$$
Cuando $\alpha$ es monótona en $[a, b]$ esta definición coincide con la basada en integrales superiores e inferiores dada por Rudin.
Apostol menciona otra definición de la integral de Riemann-Stieltjes en los ejercicios (Problema 7.3, página 174, Análisis matemático ):
Definición 2 : Dejemos que $f$ y $\alpha$ estar definido y acotado en $[a, b]$ . Decimos que $f$ es integrable de Riemann con respecto a $\alpha$ en $[a, b]$ y escribimos " $f \in R(\alpha)$ en $[a, b]$ "si existe un número $I$ con la siguiente propiedad: Para cada $\epsilon > 0$ existe un número $\delta > 0$ tal que para todas las particiones $P = \{x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\}$ de $[a, b]$ con norma $||P|| = \max_{k = 1}^{n}(x_{k} - x_{k - 1})< \delta$ y cualquier elección de puntos $t_{k} \in [x_{k - 1}, x_{k}]$ tenemos $$|S(P, f, \alpha) - I| < \epsilon$$
La definición 1 es más general que la definición 2 en el sentido de que si $f \in R(\alpha)$ en $[a, b]$ basándose en la definición 2, entonces $f \in R(\alpha)$ en $[a, b]$ basado en la definición 1, pero hay funciones $f, \alpha$ tal que $f \in R(\alpha)$ en $[a, b]$ según la definición 1 y $f \notin R(\alpha)$ en $[a, b]$ basado en la definición 2. Un ejemplo se da en el problema 7.3(b), página 174, Apostol' Análisis matemático que es integrable según la definición 1, pero no según la definición 2 (este ejemplo es, por cierto, el mismo que da Martin en su respuesta a la pregunta actual).
Además si $\alpha(x) = x$ (de modo que sólo estamos hablando de la integrabilidad simple de Riemann de $f$ en $[a, b]$ ) entonces ambas definiciones son equivalentes (la prueba no es trivial/obvia y se da en el problema 7.4, página 174, de Apostol Análisis matemático ).
Apostol utiliza la definición 1 en su texto y demuestra el siguiente teorema:
Teorema : Supongamos que $c \in (a, b)$ . Si dos de las integrales de la ecuación siguiente existen, entonces la tercera también existe y tenemos $$\int_{a}^{c}f\,d\alpha + \int_{c}^{b}f\,d\alpha = \int_{a}^{b}f\,d\alpha$$
Además al final de este teorema Apostol menciona la siguiente nota:
Nota : El tipo de argumento anterior no puede utilizarse para demostrar que la integral $\int_{a}^{c}f\,d\alpha$ existe siempre que $\int_{a}^{b}f\,d\alpha$ existe. Sin embargo, la conclusión es correcta.
Apostol da pruebas de la existencia de $\int_{a}^{c}f\,d\alpha$ basado en la existencia de $\int_{a}^{b}f\,d\alpha$ en caso de que $\alpha$ es de variación acotada en $[a, b]$ . Sin embargo, la prueba para una función general acotada $\alpha$ se basa en una idea diferente (el criterio de integrabilidad de Cauchy de las funciones de intervalo, véase la página 22, Análisis funcional de F. Riesz y B. Nagy).
Basándose en la definición 1, la afirmación de la OP es correcta. También el contraejemplo de Martin en su respuesta es erróneo. Pero si utilizamos la definición 2, entonces el contraejemplo de Martin es correcto y la afirmación de OP es incorrecta. Por lo tanto, es una cuestión de definiciones. En mi opinión hay que utilizar la definición 1, más general, frente a la definición 2, ligeramente restrictiva (pero la que dio Riemann originalmente).
