Cuando queremos integrar una función f sobre una colector M, podemos encontrarnos con algunos problemas, por ejemplo, el problema mostrado en la imagen de abajo: 
Entonces la gente utilizaba la forma diferencial para integrar. Pero eso me confundió: ¿resuelve realmente el problema de integrar la función f en M? ¿Cómo se puede relacionar f directamente con una forma k $\omega$ ? ¿Existe una forma k $\omega$ para representar una función específica f en la variedad M?
Las formas diferenciales no se introducen para responder a la pregunta "¿Cómo integro funciones en las variedades?"
En cambio, se introducen para responder a una pregunta diferente, a saber: "¿Cuáles son los objetos correctos para integrar en las variedades?"
La respuesta a esta pregunta es: ¡formas diferenciales! Más precisamente, los objetos correctos para integrar en un orientable $m$ -son diferenciales $m$ -formas.
La razón por la que son correctos es precisamente porque la integral de una forma diferencial hace transformarse correctamente, sin que su valor cambie, bajo un cambio de coordenadas.
Añadido: Dices que sigues queriendo saber cómo integrar una función en un colector. Como he intentado explicar brevemente hasta ahora, esta es una búsqueda quijotesca. No se debe intentar integrar funciones en colectores, porque no estará bien definida cuando se cambien las coordenadas.
He aquí un ejemplo para ilustrar mejor por qué en su lugar integramos formas diferenciales, no funciones.
En el cálculo multivariable se aprende que la masa total es igual a la integral de la densidad. ¿Qué son la masa y la densidad? ¿Son funciones? Si no es así, ¿qué son?
Veamos una integral de masa típica como $\int_U f \, dx$ . El valor numérico de esta integral representa la masa total. Ahora bien, no podemos medir la masa en un punto, no tiene sentido matemático. Pero lo que puede es la relación infinitesimal de masa por unidad de volumen en un punto: se llama función de densidad y es el integrando $f$ en la integral de densidad. Además, la expresión $dx$ representa una cantidad infinita de volumen. La expresión $f \, dx$ representa entonces el producto de la relación infinitesimal de la masa por unidad de volumen, multiplicada por el volumen infinitesimal; así que se puede pensar en $f \, dx$ como medida de una masa total que se ha repartido por todo el conjunto $U$ .
Esa es una manera de pensar en una forma diferencial como $f \, dx$ (al menos en el caso especial de un diferencial $k$ -forma en un $k$ -de las dimensiones). En concreto, se trata de una descripción física de una masa total que se ha repartido por todo el colector.
Fíjate bien: la forma diferencial es no la función de densidad $f$ el valor numérico real de la densidad por unidad de volumen depende de las unidades que se elijan para medir el volumen. En cambio, la forma diferencial es la función de densidad multiplicada por la forma de volumen, es decir $f \, dx$ . Esta cantidad está bien definida independientemente de las coordenadas que se elijan.
Veamos un ejemplo para ilustrar lo que ocurre con un cambio de coordenadas. Empecemos imaginando $U$ como una caja $\mathbb{R}^3$ con funciones de coordenadas $x_1,x_2,x_3$ de lado $2$ y el volumen $8$ . Imaginemos también que tenemos una masa total $M$ de densidad constante, siendo el valor de dicha densidad $M/8$ en cada punto. La masa total es $\int_U M/8 \, dx = M/8 \int_U dx = M/8 \times \text{(volume of $ U $ in $ x $-coordinates)} = M/8 \times 8 = M$ .
¿Qué ocurre cuando se cambian las coordenadas? Bien, supongamos que cambias las coordenadas por una función de la forma $$(y_1,y_2,y_3) = F(x_1,x_2,....,x_k) = (\frac{3}{2} \, x_1,\, \frac{3}{2} \, x_2,\, \frac{3}{2} \, x_3) $$ Esto corresponde a la obtención de una nueva regla, la $y$ -Regla, cuya unidad de longitud es $2/3$ el tamaño de la unidad de longitud en el $x$ -Regla con la que empezaste. Bajo esta función de cambio de coordenadas $F$ la caja con longitud de lado $2$ , volumen $2^k$ y la masa $M$ en $x$ -coordenadas se convierte, en $y$ -coordenadas, una caja con longitud de lado $3$ , volumen $3^k$ y la masa $M$ es sin cambios .
La masa no cambia sólo porque se utilice una regla diferente.
En el nuevo $y$ -coordenadas, la función de densidad es $M/3^3=M/27$ por unidad de volumen. Y la nueva integral de masa es $\int_U M/27 \, dy = M/27 \times \text{(volume of $ U $ in $ y $-coordinates)} = M/27 \times 27 = M$ .
Para resumir este ejemplo, las expresiones $M/8 \, dx$ y $M/27 \, dy$ representan la misma forma diferencial en $U$ expresado en dos sistemas de coordenadas diferentes. La integral de esta forma diferencial sobre $U$ tiene un valor bien definido, a saber $M$ la masa total.
En la notación de Leibniz, incluso al principio, no estabas integrando funciones : estabas integrando formas diferenciales .
Esto es cierto incluso en el cálculo introductorio, aunque no tenías palabras para poner el concepto, por ejemplo, no calculabas $\int f(x)$ ; has calculado $\int f(x) \, \mathrm{d}x$ .
E incluso entonces era importante no olvidar que $\mathrm{d}x$ por ejemplo, si se tiene alguna otra variable $u$ relacionado con $x$ por $x = g(u)$ , entonces se calcularía $\mathrm{d}x = g'(u) \mathrm{d}u$ y tienen
$$ \int f(x) \, \mathrm{d}x = \int f(g(u)) \, g'(u) \mathrm{d} u $$
Tu cálculo introductorio no quería enseñar geometría diferencial, así que aprendiste una mentira blanca de que estás integrando funciones, el punto de esa distracción es ayudar a superar esa mentira y darte cuenta de que las formas diferenciales son la noción correcta.
En general, cuando se hacer hablar de integrar funciones, es porque tienes una forma de volumen fija en mente, y por "integrar la función" quieres decir implícitamente "integrar el producto de esa función con la forma de volumen".
O se trata de una noción equivalente; por ejemplo, la estrella de Hodge intercambia la noción de "función" y "forma de volumen".
Dicho esto, usted puede integrar una función sobre un conjunto de dimensión cero, pero normalmente lo llamamos simplemente "evaluación". Sin embargo, es bueno hacer esto explícito, de modo que el teorema fundamental del cálculo se convierte en un caso especial del teorema de Stoke generalizado:
$$ \int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{\partial[0,1]} f(x) = f(1) - f(0) $$
ya que el límite de $[0,1]$ con su orientación habitual es $1$ orientado positivamente y $0$ orientado negativamente.
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