Constantes de integración en integración por partes

Question

Después de terminar un primer curso de cálculo, sé cómo integrar por partes, por ejemplo, $\int x \ln x dx$, dejando $u = \ln x$, $dv = x dx$: $$\int x \ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2x} dx.$$

Sin embargo, lo que no pude entender es por qué asumimos de $dv = x dx$ que $v = \frac{x^2}{2}$, cuando podría ser $v = \frac{x^2}{2} + C$ para cualquier constante $C$. La segunda integral sería bastante diferente, y no solo por una constante, por lo que me gustaría entender por qué "olvidamos" esta constante de integración.

Gracias.

Answer 1

La segunda integral cambiaría, pero también el primer término... ¿Has comprobado realmente qué sucede si cambias la constante?

Answer 2

Su observación de que $dv=xdx$ no implica $v=x^2/2$ es correcta.

Su confusión se resuelve cuando lo dice de esta manera: establecemos $v=x^2/2$ y esto implica $dv=xdx$.

Answer 3

Su observación es correcta

$$\int x \ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2x} dx.$$

Siempre puede escribir $$v = \frac{x^2}{2} + C$$ but that won't matter much because the final result would also involve a constant (Say $K$ which would be equal to $C+k$ )

Answer 4

SUGERENCIA $\rm\ \ C'=0\ \ \Rightarrow\ \ (UV)'-U'\:V\ =\ UV'\: =\ U(V+C)'\: =\ (U(V+C))'-U'\:(V+C) $