Pequeños discos operad y $Gal (\bar {Q}/Q)$

Question

Mi pregunta es sencilla:

¿Cómo operan los pequeños discos y $Gal (\bar {Q}/Q)$ ¿se relacionan?

Me doy cuenta de que se puede meter una gran cantidad de maquinaria pesada en una respuesta a esto, pero estoy luchando con lo básico. Todos los documentos que he encontrado parecen ir al grano o incluyen reflexiones más inspiradas que precisas, así que estoy deseando leer lo que dice la gente aquí.

Answer 1

Una respuesta corta sería: $Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ actúa fielmente sobre el grupo fundamental profinito de la operada de pequeños discos.

Si $X$ es una variedad algebraica sobre $\mathbb{Q}$ tenemos una secuencia exacta $$ 1 \to\pi_1(X\otimes \overline{\mathbb{Q}},p) \to \pi_1(X,p) \to Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \to 1 $$ Aquí $\pi_1(X\otimes \overline{\mathbb{Q}};p)$ se identifica canónicamente con la terminación profinita del grupo fundamental topológico habitual $\pi_1(X(\mathbb{C}),p)$ . Si el punto base se define sobre $\mathbb{Q}$ , esta división y tenemos una acción $$ Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \to Aut(\widehat{\pi}_1(X(\mathbb{C}),p)). $$

La terminación (profinita de los) grupos fundamentales de la $C_2(n)$ heredan la estructura de la operada. El truco es que todo ello puede definirse sobre $\mathbb{Q}$ como $C_2(n)$ es equivalente en homotopía al espacio de configuración de los puntos de la línea afín $F(\mathbb{A}^1_{\mathbb{Q}},n)(\mathbb{C})$ . Hay que definir los "puntos base tangenciales" racionales y comprobar que la estructura de la operada sobre los grupos fundamentales también está definida sobre $\mathbb{Q}$ . El operado resultante se describe aquí . Se puede calcular explícitamente su grupo de automorfismo. Este es el grupo de Grothendieck-Teichmuller $\widehat{GT}$ .

Como todo se define sobre $\mathbb{Q}$ , $Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ opera en toda la operada. Así que tenemos un morfismo $$ Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \to \widehat{GT} $$ De un teorema de Belyi se deduce que es inyectiva.