Pensando surrealista números, ahora tengo dudas de que en realidad están bien definidos en ZFC. He aquí mi razonamiento:
La primera cosa a notar es que el surrealista números (suponiendo que están bien definidos, por supuesto) forman una clase adecuada. Ahora, cito de la Wikipedia:
El surrealista números están construidos en etapas, junto con un pedido ≤ tal que para cualesquiera dos surrealista números de $a$ $b$ $a \le b$ o $b \le a$. (Ambos, en cuyo caso $a$ $b$ son equivalentes y que denotan la mismo número.) Los números se forman por la vinculación de los subconjuntos de los números ya construidos: dado subconjuntos $L$ $R$ de los números de tal manera que todos los los miembros de $L$ son estrictamente menor que todos los miembros de $R$, entonces el par { $L$ \mediados $R$ } representa un número intermedio de valor entre todos los miembros de $L$ y todos los miembros de $R$.
Diferentes subconjuntos puede terminar de definir el mismo número: $\{ L \mid R \}$ y $\{ L′ \mid R′ \}$ puede definir el número del mismo, incluso si $L \ne L′$$R \ne R′$. (Un similar fenómeno ocurre cuando los números racionales se definen como los cocientes de enteros: $1/2$ $2/4$ son las diferentes representaciones de el mismo número racional.) Estrictamente hablando, el surrealista números son clases de equivalencia de representaciones de la forma $\{ L \mid R \}$ que designar el mismo número.
OK, de forma surrealista, los números son clases de equivalencia de pares de conjuntos de surrealista números. Tan lejos, tan bueno. Sin embargo, ¿cómo de grandes son los de equivalencia?
Citando a la Wikipedia de nuevo:
Dos numérico formas $x$ $y$ son formas del mismo número (que se encuentran en la misma clase de equivalencia) si y sólo si ambas $x \le y$$y \le x$.
Y
Numérica formas de $x = \{ X_L \mid X_R \}$ y $y = \{ Y_L \mid Y_R \}$, $x \le y$ si y sólo si:
- no es $x_L \in X_L$ tal que $y \le x_L$ (cada elemento en la parte izquierda de $x$ es menor que $y$), y
- no es $y_R \in Y_R$ tal que $y_R \le x$ (cada elemento en la parte derecha de $y$ es mayor que $x$).
OK, vamos a considerar el caso especial de $0$. La "canónica" formulario de $0$$\{\mid\}$$L=R=\emptyset$. Ahora considere la posibilidad de un arbitrario surrealista número $x\ne 0$. Desde el surrealista números son totalmente ordenado, $x>0$ o $x<0$ es cierto. En el primer caso, $\{\mid x\}$ es equivalente a $\{\mid\}$, y en el segundo caso $\{x\mid\}$ es eqivalent a $\{\mid\}$. Es decir, la equivalencia de la clase $0$ contiene al menos tantos elementos como hay surrealista números.
Sin embargo, desde el surrealista números forman una clase adecuada, esto significa que cada clase de equivalencia forma una clase adecuada. Pero la correcta clases no pueden ser miembros de los conjuntos, incluyendo la izquierda y a la derecha el conjunto de formas que componen surrealista números.
También, tomar, además de surrealista números. Es una función que asigna un par de surrealista números a una surrealista número. Pero desde un surrealista es un número adecuado de la clase, y un par es en última instancia un conjunto, surrealista números no pueden ser miembros de una pareja.
Por otro lado, no me imagino que todos los que están estudiando surrealista números no han considerado que si en realidad están bien definidos. Por lo tanto, supongo que hay algún error en mi razonamiento. Si es así, ¿dónde está?
