¿Qué función satisface $f'(\mathbb{N}) \subseteq \mathbb{N}$

Question

Estaba pensando y encontré la siguiente pregunta : Sea $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función diferenciable y considerar las restricciones $f|_\mathbb{N}$ y $f'_\mathbb{N}$

i) ¿Qué funciones satisfacen $f(\mathbb{N}) \subseteq \mathbb{N}$ ?

ii) Qué funciones satisfacen $f'(\mathbb{N}) \subseteq \mathbb{N}$ ?

Ejemplos :

$f(x) = 2x$ cumple con los puntos i) y ii)

$g(x)=\frac{\sin(2\pi x)}{2\pi}$ satisface sólo ii)

Answer 1

Aquí hay una respuesta muy parcial . Podemos clasificar todos los polinomios con la propiedad (i), proporcionado está dispuesto a reemplazar $\Bbb N$ por $\def\Z{{\Bbb Z}}\Z$ .

Lema . Cualquier polinomio con coeficientes reales puede escribirse de la forma $$f(x)=a_0+a_1\binom x1+a_2\binom x2+\cdots+a_n\binom xn\ ,$$ donde $$\binom xk=\frac{x(x-1)\cdots(x-(k-1))}{k!}\ .$$

Prueba . Claro, porque $\binom xk$ tiene grado $k$ .

Teorema . Si $f$ se escribe como arriba, entonces $$f(\Z)\subseteq\Z\quad\hbox{if and only if}\quad\hbox{all $ a_k $ are integers}.$$

Prueba . "Si" está claro. Por el contrario, supongamos $f(\Z)\subseteq\Z$ . Entonces $$a_0=f(0)\in\Z\ .$$ Además, por cada $x\in\Z$ tenemos $f(x+1)-f(x)\in\Z$ . Al manipular la suma se obtiene $$f(x+1)-f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+1}\binom xk\ ;$$ ya que se trata de un polinomio de grado $n-1$ podemos concluir por inducción que $a_1,a_2,\ldots,a_n$ son números enteros.

He omitido un par de detalles, los dejaré a su criterio.