Traducción de la Axiomatización/Lógica de Tarski $\mathbb R$ a la Teoría de las Magnitudes

Question

Actualización: Esto se ha convertido en un proyecto, pero necesito ayuda. Todas las respuestas serán ahora definiciones, proposiciones, teoremas, etc. que se basan en la teoría. Marcaré algunas de mis propias respuestas como wiki de la comunidad para que puedan ser mejoradas/ampliadas/aclaradas/arregladas.

He cambiado las etiquetas. Vea a continuación por qué añadimos la etiqueta 'operador-teoría'.

Problema actual : Demuestre que los endomorfismos (= automorfismos) en $M$ conmutación. Una vez hecho esto, podremos definir la multiplicación (dada una unidad de medida seleccionada).

Ahora, por supuesto, siempre puedes levantar las manos, volver atrás y construir los números reales con la multiplicación, pero eso es hacer trampa. Quizás se pueda encontrar algo en la obra de Tarski; no la he mirado pero si alguien tiene acceso su lógica podría funcionar aquí.

Tal vez sea necesario desarrollar amplias técnicas del análisis real, o incluso crear la teoría de los espacios topológicos. Estamos buscando la mezcla afinada de álgebra y análisis que pueda dar lugar a una exposición elegante.

Mi trabajo - Fui a la derecha para definir la multiplicación, y que podría ser la mejor ruta. Pero mi prueba es imprecisa.

Esta es la pregunta: Demuestra lo siguiente

Teorema: Dos automorfismos cualesquiera de $M$ de viaje.

Esto se puede deducir desde la lógica utilizando sólo las propiedades de $M$ Pero, ¿cuánta maquinaria matemática auxiliar hay que construir para demostrarlo?

En mi trabajo también empecé a buscar el empleo de Teorema de Dini pero se rindió. Y por supuesto la composición de automorfismos, con una unidad de medida seleccionada, corresponde a encontrar el área de un rectángulo, y el área no cambia cuando lo rotamos.

También observé con un elegido $1 \in M$ , si $\phi$ y $\psi$ son dos automorfismos, lo mismo ocurre con $p\phi + q\psi$ para números enteros positivos $p$ y $q$ . Ahora bien, si $\Delta$ es cualquier automorfismo no igual a la identidad, es una dilatación o una contracción. Este, junto con su inverso $\Delta^{-1}$ genera un "módulo" conmutativo $\mathcal U$ que puede identificarse con una subálgebra conmutativa "densa $U$ de $(M,1,+)$ Así que, intuitivamente, podemos "aproximar" dos automorfismos cualesquiera con dos automorfismos conmutativos.

Debido al párrafo anterior, he añadido en la etiqueta de la teoría del operador. Si algún experto en la materia considera que no es apropiado, puede eliminarlo.

La gracia, por supuesto, es que el grupo de automorfismo de $M$ es isomorfo a $\mathbb R$ .

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Definición: Que $M$ sea un conjunto con una operación binaria $+$ que satisface las siguientes propiedades:

P-0: La operación $+: M \times M \to M$ es asociativo y conmutativo.

P-1: $\text{For every } x,y,z \in M \text{, if } z + x = z + y \, \text{ then } \, x = y$ .

P-2: $\text{For every } x,y,z \in M \text{, if } z = x + y \, \text{ then } \, z \ne x$ .

P-3: $\text{For every } x,y \in M \text{, if } x \ne y \, \text{ then } \, [\exists u \; | \, x = y +u] \text{ or } [\exists u \; | \, y = x +u]$ .

P-4: $\text{For every } x \in M \; \exists \, y,z \in M \, \text{ such that } \; x = y + z$ .

P-5:
$\text{For all } X, Y \subsetneq M$
$\quad \text{such that } (\forall x \in X) \; (\forall y \in Y) \; (\exists u \in M) \; y = x + u$
$\exists \, z \in M \text{ such that }$
$\quad \forall x \in X \; \; [\,x = z \text{ or } (\exists u \in M \text{ such that } x + u = z)\,]$
$\quad \text{and}$
$\quad \forall y \in Y \; \; [\,y = z \text{ or } (\exists u \in M \text{ such that } z + u = y)\,]$

Entonces $(M,+)$ se dice que es un sistema de magnitudes y también debe ser no vacío.

Teorema: Sea $(M,+)$ y $(N,+)$ sean dos sistemas de magnitudes y elija cualquier elemento $m \in M$ y cualquier $n \in N$ . Entonces existe un morfismo único $\gamma: M \to N$ tal que $m \mapsto n$ .
Además, este mapeo $\gamma$ también debe ser un isomorfismo.

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Antes de esbozar mis ideas, date cuenta de que lo anterior es una traducción del trabajo en lógica

La axiomatización de los reales de Tarski

al semigrupo de magnitudes. Curiosamente, las últimas palabras de ese artículo de la wikipedia son

$\quad$ ... tiene su origen en Eudoxus Definición de magnitud.

Boceto de trabajo

Tomando $X,Y \subset M$ para que ambos sean conjuntos vacíos, $\text{P-5}$ implica que $M$ no está vacío. Intuitivamente, la selección de cualquier punto en $M$ se convierte entonces en un "acto" de selección de la unidad de medida en una línea abstracta de puntos.

También he demostrado el siguiente resultado ( $s \lt t$ significa $s + u = t$ ):

Proposición: Si $x,y \in M$ existe un $n \in \mathbb N$ con $n \gt 0$ tal que $nx \gt y$ .
Prueba
Dejemos que $A = \{nx \, |\, n \gt 0 \}$ . Supongamos que $y$ es un límite superior para $A$ . Utilizando $\text{P-5}$ el menor límite superior $\alpha$ debe existir para $A$ . Desde $x \lt \alpha$ podemos escribir $x + u = \alpha$ y así $u \lt \alpha$ . Desde $u$ no puede ser un límite superior, para algunos $m$ , $u \lt mx$ . Añadiendo $x$ a ambos lados de la desigualdad y utilizando la Ley de Monotonicidad, obtenemos $x + u \lt (m+1)x$ . Pero $x + u$ es $\alpha$ y obtenemos una contradicción. $\quad \blacksquare$

Esta demostración es una adaptación del Teorema 1.20-(a) que se encuentra en los Principios del Análisis Matemático de Walter Rudin, $\,3^{rd}$ Edición.

Así que $M$ satisface la propiedad de Arquímedes. Contrasta esto con la teoría conocida sobre grupos ordenados linealmente ,

Otto Hölder demostró que todo grupo arquimediano (un grupo biordenado que satisface una propiedad arquimediana) es isomorfo a un subgrupo del grupo aditivo de los números reales.

El resto de mi trabajo consiste en demostrar que, una vez elegida una "unidad de medida", obtenemos una incrustación de $\{\frac{m}{2^n}\}$ en $M$ y, utilizando $\text{P-5}$ todo "viene para el paseo", en cuanto a probar la $\gamma$ isomorfismo.

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Mientras trabajaba en este proyecto me hice cinco preguntas relacionadas (al menos para mí):

Construcción algebraica de los números naturales mediante una operación binaria que satisface algunas propiedades

Automorfismos en $(\mathbb R, +)$ y el axioma de la elección

¿Es útil saber que los automorfismos en (R>0,+) son siempre continuos?

Ejemplos de semigrupos conmutativos en los que la cardinalidad del conjunto portador es mayor que c .

En una quinta pregunta pedí contraejemplos que demostraran que las propiedades para $M$ no siempre conducen a $\mathbb R^{\gt 0}$ . Nos ha servido para poder "probar" la teoría de las magnitudes, pero la he borrado porque la "acción" ya está aquí.

También quiero agradecer a @JohnHughes que me ayudó a eliminar el error de sintaxis y a "repasar" la formulación de las propiedades. Además, el trabajo offline de @M.Nestor demostró que, efectivamente, sólo podemos obtener $\mathbb R^{\gt 0}$ . También hizo una pregunta viendo esta teoría desde otro ángulo:

¿Es R el único grupo abeliano completo ordenado?

Answer 1

Un poco de Euclides [1] ayuda; así que si, a efectos de este proyecto, usted "tiraste todos tus libros de matemáticas", ¡al menos recupera ese! :)

La proposición se puede demostrar desde P-0 hasta P-4 y la propiedad arquimediana de Arquímedes; la completitud (P-5) sólo se utiliza para demostrar esta última, y la la densidad (P-4) no es necesaria en absoluto. (Por supuesto, P-4 y P-5 son son necesarias para caracterizar $\mathbb{R}_{>0}$ o sistemas completos de magnitudes en general).

De la definición de la relación de orden en $M$ en conjunción con los axiomas de junto con los axiomas de asociatividad y conmutatividad, que la adición respeta el orden: es decir, si $x < y$ entonces $w + x < w + y$ , y así sucesivamente.

Para los propósitos actuales, tomaré $\mathbb{N}$ para ser el conjunto de los números enteros positivos enteros, es decir, se excluye el cero. Daré por supuestas las propiedades propiedades de $\mathbb{N}$ así como la operación binaria $\mathbb{N} \times M \to M$ , $(n, x) \mapsto nx$ definido recursivamente de la forma habitual para los semigrupos. En particular, $1x = x$ , $m(nx) = (mn)x$ , $(m + n)x = mx + nx$ y debido a la la conmutatividad de la adición en $M$ , $n(x + y) = nx + ny$ para todo $x, y \in M$ y $m, n \in \mathbb{N}$ . (Así, el mapa $M \to M$ , $x \mapsto nx$ es un endomorfismo de $M$ .)

Si $x < y$ entonces, por definición existe $u$ con $x + u = y$ Así que $nx + nu = ny$ , así que $nx < ny$ . Si $m < n$ entonces existe $p \in \mathbb{N}$ con $m + p = n$ Así que $mx + px = nx$ Así que $mx < nx$ . Del mismo modo, $mx > nx$ si $m > n$ así que tenemos $m < n$ o $m = n$ o $m > n$ según $mx < nx$ o $mx = nx$ o $mx > nx$ .

Por inducción en $n$ , si $x < y$ entonces $nx < ny$ y si $x > y$ , entonces $nx > ny$ así que tenemos $x < y$ o $x = y$ o $x > y$ según como $nx < ny$ o $nx = ny$ o $nx > ny$ . Así, podemos "dividir por $n$ " al manejar desigualdades o ecuaciones en $M$ .

Para $x, y \in M$ definir el relación de $x$ a $y$ para ser la relación binaria sobre $\mathbb{N}$ , $$ x \mathbin{:} y = \{ (n, m) : nx > my \}. $$

Bajo una definición más general de un sistema de magnitudes, $\mathbb{N}$ es un sistema de magnitudes, arquimediano, pero no completo. Se puede definir el número racional $\tfrac{m}{n}$ como la relación $m \mathbin{:} n$ en ese sistema. Entonces se puede demostrar que el conjunto de todos los cocientes está totalmente ordenado por inclusión. Bajo una definición aún más general, en la que la relación de orden se da como un concepto primitivo en lugar de ser definida en términos de adición, el conjunto de los enteros $> 1$ es un sistema de magnitudes, también arquimediano, y también no completo, teniendo la multiplicación como su operación de "adición" operación de "suma". Se puede definir $\log_nm$ como la relación $m \mathbin{:} n$ en ese sistema. Por cierto, ni siquiera es necesario tener una operación de adición de magnitudes. Véase la sección 3.10.1, "Múltiplos extensos", en Krantz et al. [2] No voy a seguir con estas reflexiones aquí, porque llevan muy lejos. Sólo desarrollo la teoría suficiente para demostrar que dos endomorfismos cualesquiera de $M$ de viaje al trabajo. Pero si tienes ganas de más, y puede conseguir las notas no publicadas de Scott [3]: desarrolla una teoría en bastante similar. Su enfoque no es el único posible. Para Por ejemplo, se pueden caracterizar esas relaciones binarias en $\mathbb{N}$ que son relaciones, sin referirse inicialmente a sistemas de magnitudes y luego demostrar que las relaciones forman un sistema completo de magnitudes. Pero he descubierto que ese enfoque es un poco complicado, o al menos al menos en mis manos. Disculpen esta digresión.

Lema 1 Para todos $x, y \in M$ y para todos $r \in \mathbb{N}$ , $$ x \mathbin{:} y = (rx) \mathbin{:} (ry). $$

Prueba \begin{align*} x \mathbin{:} y & = \{ (n, m) : nx > my \} && \text{by definition} \\ & = \{ (n, m) : r(nx) > r(my) \} && \text{by ``division by $r$'' (see above)} \\ & = \{ (n, m) : (rn)x > (rm)y \} \\ & = \{ (n, m) : (nr)x > (mr)y \} \\ & = \{ (n, m) : n(rx) > m(ry) \} \\ & = (rx) \mathbin{:} (ry) && \text{by definition.} \end{align*} $\square$

Propuesta 2 Para sistemas de magnitudes $M, N$ , $x, y \in M$ , $u, v \in N$ , y $p, q \in \mathbb{N}$ , $$ \text{if } x \mathbin{:} y = u \mathbin{:} v, \text{ then } (px) \mathbin{:} (qy) = (pu) \mathbin{:} (qv). $$

Prueba \begin{align*} (px) \mathbin{:} (qy) & = \{ (n, m) : n(px) > m(qy) \} && \text{by definition} \\ & = \{ (n, m) : (np)x > (mq)y \} \\ & = \{ (n, m) : (np)u > (mq)v \} && \text{because } x \mathbin{:} y = u \mathbin{:} v \\ & = \{ (n, m) : n(pu) > m(qv) \} \\ & = (pu) \mathbin{:} (qv) && \text{by definition.} \end{align*} $\square$

Este es otro de los resultados de Euclides. Se puede utilizar para definir la multiplicación de cocientes en general por números racionales en particular. En realidad no lo necesitamos, pero pensé que lo pondría de todos modos. Así que demándame. :)

Lema 3 Para todos $x, y, u \in M$ , si $x < y$ entonces existe $n, m \in \mathbb{N}$ tal que $nx < mu < ny$ .

Prueba Por hipótesis, existe $t$ tal que $y = x + t$ . Por la propiedad de Arquímedes (como se demuestra en la pregunta, o se postula sin postular también la completitud), existe $n \in \mathbb{N}$ tal que $nt > u$ . Por lo tanto: $$ ny = nx + nt > nx + u. $$ De nuevo por la propiedad de Arquímedes, existe $m \in \mathbb{N}$ tal que $mu > nx$ . Sea $m$ sea el menor número entero que satisfaga esta condición. Si $m = 1$ entonces $$ nx < u < ny. $$ Por otro lado, si $m > 1$ entonces por la definición de $m$ , $(m - 1)u \leqslant nx$ . Por lo tanto, $$ mu = [(m - 1) + 1]u = (m - 1)u + u \leqslant nx + u < ny, $$ según sea necesario. $\square$

Corolario 4 Para todos $x, y, u \in M$ , si $x \mathbin{:} u = y \mathbin{:} u$ entonces $x = y$ .

Prueba Si $x \ne y$ entonces $x < y$ o $x > y$ . Suponiendo que $x < y$ el lema implica que $(n, m) \in y \mathbin{:} u$ pero $(n, m) \notin x \mathbin{:} u$ , por lo tanto $x \mathbin{:} u \ne y \mathbin{:} u$ . Del mismo modo, si $x > y$ . $\square$

Corolario 5 Para todos $x, y, u \in M$ , si $x \mathbin{:} u = x \mathbin{:} v$ entonces $u = v$ .

Prueba Si $u \ne v$ entonces $u < v$ o $u > v$ . Si $u < v$ entonces aplicando el lema a $u, v, x$ en lugar de $x, y, u$ encontramos que hay $n, m \in \mathbb{N}$ tal que $$ mu < nx < mv, $$ así que $(n, m) \in x \mathbin{:} u$ pero $(n, m) \notin x \mathbin{:} v$ , así que $x \mathbin{:} u \ne x \mathbin{:} v$ . Del mismo modo, si $u > v$ . $\square$

Corolario 6 Para todos $x, y, u, v \in M$ , si $x \mathbin{:} u = y \mathbin{:} v$ entonces $x < y$ o $x = y$ o $x > y$ según $u < v$ o $u = v$ o $u > v$ .

Prueba El corolario anterior ha tratado el caso $x = y$ . Si $x < y$ , tomar $n, m$ como en el lema. Porque $x \mathbin{:} u = y \mathbin{:} v$ y $nx < mu$ tenemos $(n, m) \notin y \mathbin{:} v$ es decir $ny \leqslant mv$ , de donde $mu < mv$ de ahí que al "dividir por $m$ ", $u < v$ . Intercambiar los papeles de $x$ y $y$ y de $u$ y $v$ En este argumento, encontramos que si $x > y$ entonces $u > v$ . $\square$

Teorema 7 Para todos $x, y, u, v \in M$ , $x \mathbin{:} y = u \mathbin{:} v$ si y sólo si $x \mathbin{:} u = y \mathbin{:} v$ .

Prueba Por la simetría del resultado, sólo tenemos que demostrar que si $x \mathbin{:} y = u \mathbin{:} v$ entonces $x \mathbin{:} u = y \mathbin{:} v$ . Si $x \mathbin{:} y = u \mathbin{:} v$ , entonces para todos los $n, m \in \mathbb{N}$ , por dos aplicaciones del Lemma 1, tenemos $(nx) \mathbin{:} (ny) = (mu) \mathbin{:} (mv)$ . Por el Corolario 6, por lo tanto: $nx < mu$ o $nx = mu$ o $nx > mu$ según $ny < mv$ o $ny = mv$ o $ny > mv$ y en particular $x \mathbin{:} u = y \mathbin{:} v$ . $\square$

Esta prueba brilla tanto ahora como cuando Euclides hace dos mil quinientos años. (A no ser que haya conseguido ¡empañarlo, es decir! No he seguido de cerca las fuentes de la lista, o incluso mis propias notas antiguas, habiendo estado más en el estado de ánimo para trabajar de elaborar las cosas sobre la marcha, aun a riesgo de meter la pata).

Está claro que si $M, N$ son sistemas de magnitudes, y $\phi: M \to N$ es un morfismo de semigrupos, entonces $\phi$ respeta las estructuras de orden de $M, N$ y es inyectiva. Se deduce inmediatamente que: \begin{equation} \tag{1}\label{eq:1} \phi(x) \mathbin{:} \phi(y) = x \mathbin{:} y \text{ for all } x, y \in M. \end{equation} Si $N = M$ , el teorema 7 da el corolario: \begin{equation} \tag{2}\label{eq:2} \phi(x) \mathbin{:} x = \phi(y) \mathbin{:} y \text{ for all } x, y \in M. \end{equation} Si $\psi: M \to M$ es también un morfismo, tomando $y = \psi(x)$ en \eqref {eq:2} y utilizando \eqref {eq:1} da: $$ \phi(\psi(x)) \mathbin{:} \psi(x) = \phi(x) \mathbin{:} x = \psi(\phi(x)) \mathbin{:} \psi(x), $$ y el Corolario 4 da $\phi(\psi(x)) = \psi(\phi(x))$ . Porque $x$ era arbitraria, se deduce que $\phi \circ \psi = \psi \circ \phi$ . $\square$ .

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Referencias

[1] Elementos de Euclides, Libro V

[2] David H. Krantz y otros, Fundamentos de la medición, I: Representaciones aditivas y representaciones polinómicas (Academic Press 1971, repr. Dover 2007)

[3] Dana Scott, Una teoría general de las magnitudes (no publicado, pero referido en este respuesta) (1963)

Answer 2

Damos una breve demostración del teorema.

Dejemos que $M$ sea un sistema de magnitudes y seleccione cualquier elemento del conjunto portador y llámelo $1$ para que el conjunto $M$ es un conjunto punteado y el objeto de estudio pasa a ser $(M,1,+)$ . También tenemos un morfismo inyectivo

$\tag 1 \iota: \mathbb N^> = \mathbb N \setminus \{0\} \to M \text{ such that } 1 \mapsto 1$

por lo que podemos ver la imagen de la incrustación como una inclusión, $\mathbb N^> \subset M$ .

No es difícil demostrar que para cualquier $x \in M$ existe un único elemento $H(x)$ tal que $H(x)+H(x)=x$ . Así que definimos

$\tag 2 U = \{mH^n(1) \; | \; m \in \mathbb N^> \text{ and } n \in \mathbb N\}$

donde ' $m \; \text{times}$ ' es la abreviatura de la adición repetida.

De nuevo tenemos un morfismo inyectivo y podemos considerar $U \subset M$ , donde $mH^n(1)$ es el nuevo nombre de un elemento en $M$ .

Teorema: Sea $(M,1,+)$ y $(N,1,+)$ sean dos sistemas de magnitudes con unidades de medida seleccionadas. Entonces existe uno y sólo un morfismo

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\phi: M \to N$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad 1 \mapsto 1$

Además, este mapeo es un isomorfismo.

Prueba
Nótese que cualquier morfismo de $M$ en $N$ debe ser una inyección.

Para cualquier $s \in M$ existe un $N_s \ge 0$ tal que para todo $n \ge N_s$ las ecuaciones $m H^n(1) + u = s$ tienen soluciones. Así que podemos tomar el máximo $m_{(s,n)}$ y definir el conjunto $X_s =\{m_{(s,n)}H^n(1)\} $ y establecer $Y_s = \{ m \in M \; | \; (\forall x \in X_s) (\exists u \in M) \,[x + u = m]\}$ .

Invocando $\text{P-5}$ podemos obtener un $z_s \in M$ que separa $X_s$ y $Y_s$ este elemento está claramente en $Y_s$ y, por tanto, es único. Es igual a $s$ .

El subconjunto $X_s$ se identifica naturalmente con un subconjunto de $N$ y define un $Y^{'}$ en $N$ de la misma manera, y, de nuevo, obtenemos un elemento único $t \in N$ separando estos dos conjuntos. Sólo queda demostrar que el mapeo $s \mapsto t$ define un isomorfismo, lo que no es difícil de argumentar. $ \blacksquare$