Automorfismos del grupo simétrico

Question

Dejemos que $n > 6$ . Demuestre que un automorfismo $f: S_{n} \to S_{n}$ (un isomorfismo de $S_{n}$ a sí mismo) asignará transposiciones a transposiciones.

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No estoy seguro de cómo empezar con el problema. Estaba pensando en utilizar el concepto de centralizadores (en el caso de una transposición $(ij)$ el centralizador será tal $\sigma \in S_{n}$ con $\sigma(i), \sigma(j) \in \{i,j\}$ ) para abordar el problema, pero hasta ahora no he tenido éxito. ¿Cuál sería el enfoque correcto?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Es casi la idea. Sabes que $f((1,2))$ será un elemento de orden $2$ . De ahí que un producto de $k$ transposición disjunta.

En lugar de calcular el centralizador de $(1,2)$ y $f((1,2))$ Intenta calcular el número de elementos de la clase de conjugación (es mucho más fácil). Justifica que siempre que $n\neq 6$ la única posibilidad para los números de conjugados de $(1,2)$ y de conjugados de $f((1,2))$ es tener $k=1$ . Para ser más precisos:

Dejemos que $k\geq 1$ , denotan $T_k$ para ser el número de elementos conjugados a $(1,2)...(2k-1,2k)$ . Demuestra que :

$$T_k=\frac{1}{k!}\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}...\begin{pmatrix}n-2k+2\\2\end{pmatrix} $$

Una vez hecho esto, sólo hay que demostrar que $T_1=T_k$ tiene para la solución única $k=1$ (siempre que $n\neq 6$ ).