He borrado la pregunta anterior, porque toda la pregunta ha cambiado. Me encuentro con el siguiente problema:
Extensión dada de campos finitos $L/K$ de grado $3$ demostrar que todo polinomio de grado $3$ con coeficientes en $K$ sí tiene raíz en $L$ .
Ahora sé la prueba utilizando algunos conocimientos sobre campos de división de polinomios irreducibles. Sin embargo, ahora estoy intentando hacer una prueba algo más elemental y bastante poco elegante y me gustaría que alguien le echara un vistazo. No sé si a) lo que tengo hasta ahora es correcto b) incluso si lo es, si lleva a alguna parte...
edit: gracias a los dos, por fin he conseguido el número exacto de polinomios irreducibles en $K[x]$ derecho, que debería ser $(q^3 - q)/3$ . Todavía estoy trabajando en cómo usar este número para terminar el problema original.
nota: la extensión es finita, por tanto algebraica, por lo que cada elemento de $F$ es raíz de algún polinomio en $K[x]$ . Así que, en particular, tengo $q^3 - q$ "nuevas" raíces. Las mencionadas anteriormente $(q^3 - q)/3$ los polinomios mónicos irreducibles pueden tener como máximo $q^3 - q$ raíces en cualquier extensión. Estas "nuevas" raíces son exactamente las raíces de esos polinomios, si no me equivoco, pero no sé cómo demostrarlo.
