si $(f(z))^{2} + (g(z))^{2} = 1$ , $f, g$ funciones analíticas, entonces $f = cos(h)$ y $g = sin(h)$

Question

Si $f, g: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ son funciones analíticas que satisfacen $(f(z))^{2} + (g(z))^{2} = 1$ para todos $z \in \mathbb{C}$ , demuestre que existe una función analítica $h: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ tal que $f = cos(h)$ y $g = sin(h)$ .

¿Alguien puede ayudarme? Gracias de antemano.

Answer 1

Siguiendo la pista de @r9m, escribe $f+ig=e^{ih}$ así que $f-ig=\frac{1}{f+ig}=e^{-ih}$ . Entonces $f=\frac{e^{ih}+e^{-ih}}{2}=\cos h$ ; de manera similar, $g=\sin h$ . Tenga en cuenta que, dado que $f,\,g$ no son de valor real, $f\pm ig$ no son en general pares conjugados, por lo que $h$ no es real en general.