Integral difícil $\int_{0}^{2}{\frac{\arctan x}{x^2+2x+2}}$

Question

$$\int_{0}^{2}\frac{\arctan{x}}{x^2+2x+2}$$

La solución viene con la sustitución $x=\frac{2-t}{1+2t}$ . Funciona perfectamente, pero me pregunto, ¿cómo puedo adivinar algo así?

Answer 1

Observe que $$\begin{align}\dfrac{2-t}{1+2\times t }\end{align}$$ lleva a pensar en la siguiente fórmula, $ab>-1$ : $$\begin{align}\arctan\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)=\arctan\left(a\right)-\arctan\left(b\right)\end{align}$$ Si se realiza el cambio de variable $x=\dfrac{2-t}{1+2\times t }$ , se obtiene algo así: $$\begin{align}I&=K\int_0^2\frac{\arctan\left(\frac{2-t}{1+2t}\right)}{x^2+2x+2}dx\\ &=K\int_0^2\frac{\arctan 2 }{x^2+2x+2}dx-K\times I \end{align}$$ ( $K$ (un verdadero)

Por lo tanto, si se enfrenta a, $a>0$ , $P$ polinomio:

$$\begin{align}\int_0^a\frac{\arctan x}{P(x)}dx\end{align}$$

Prueba el cambio de variable $x=\dfrac{a-t}{1+a\times t }$

$\left(t=\dfrac{a-x}{1+a\times x }\right)$

A veces, la siguiente fórmula es útil.

Dejemos que $a>0,b>1$ realizar el cambio de variable $y=\dfrac{1}{x}$ , $$\begin{align}J&=\int_{\frac{1}{b}}^b \dfrac{\arctan x}{x^2+ax+1}\,dx\\ &=\int_{\frac{1}{b}}^b \dfrac{\arctan\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2+ax+1}\,dx\end{align}$$ Ya que, para $x>0$ , $$\begin{align}\arctan x+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)=\dfrac{\pi}{2}\end{align}$$ Por lo tanto, $$\begin{align}J&=\dfrac{\pi}{4}\int_{\frac{1}{b}}^b \dfrac{1}{x^2+ax+1}\,dx\end{align}$$