Expectativa condicional del tiempo de primer golpe del movimiento browniano

Question

Dejemos que $T_x$ sea el primer tiempo de golpeo de $x$ . Sea $B_t$ sea un movimiento browniano iniciado en $x\in [0,R]$ . Demostrar que $$E[T_R \mid T_R < T_0]=\frac{R^2-x^2}{3}.$$

Utilizando el hecho de que $B_t^2 - t$ es una martingala y el teorema del tiempo de parada, $E(T_R) = R^2-x^2$ pero no estoy seguro de cómo encontrar $E[T_R \mid T_R < T_0]$ . Gracias y aprecio una pista.

Answer 1

Pistas:

1. Desde $(B_t)_{t \geq 0}$ es una martingala se deduce del teorema de parada opcional que $$\mathbb{E}(B_{T_R \wedge T_0}) = x.$$ Deducir de $B_{T_R \wedge T_0} \in \{0,R\}$ que $$\mathbb{P}(B_{T_R \wedge T_0}=R) = \frac{x}{R} \qquad \mathbb{P}(B_{T_0 \wedge T_R} = 0) = \frac{R-x}{R}. \tag{1}$$ Concluir que $$\mathbb{P}(T_R<T_0) = \frac{x}{R}. \tag{2}$$
2. Compruebe que $X_t := B_t^3 - 3tB_t$ es una martingala. Aplique el teorema de parada opcional para demostrar que $$\mathbb{E}(B_{T_R \wedge T_0}^3) - x^3 = 3 \mathbb{E}((T_R \wedge T_0) B_{T_R \wedge T_0}). \tag{3} $$ Combine esta identidad con $(1)$ para obtener ese $$0 \cdot \mathbb{E}((T_R \wedge T_0) 1_{\{B_{T_R \wedge T_0}=0\}}) + 3R \mathbb{E}((T_R \wedge T_0) 1_{\{B_{T_R \wedge T_0}=R\}}) = R^3 \frac{x}{R} - x^3,$$ es decir $$\mathbb{E}((T_R \wedge T_0) 1_{\{B_{T_R \wedge T_0}=R\}}) = \frac{x}{3R} (R^2-x^2).$$ Como $$\{B_{T_R \wedge T_0} =R\} = \{T_R<T_0\}$$ esto da como resultado $$\mathbb{E}(T_R 1_{\{T_R<T_0\}}) = \frac{x}{3R} (R^2-x^2).$$
3. Combinando ambos pasos se obtiene $$\mathbb{E}(T_R \mid T_R<T_0) = \frac{R^2-x^2}{3}.$$