¿Cómo de simétrica es la jerarquía de ordinales indecomponibles?
El proceso de la aritmética ordinal sigue un patrón repetitivo e inductivo de la suma a la multiplicación, a la exponenciación, etc., en el que el morfismo de una operación a la siguiente se parece bastante, en el sentido de que cada paso hacia arriba es una inducción más allá del límite transinfinito de la operación anterior. A esto le llamo simetría.
Tenemos los conceptos de ordinales aditivamente indecomponibles, y más allá, ordinales multiplicativamente indecomponibles, etc. ¿Disfruta esta jerarquía de la misma simetría inductiva hasta el infinito de la misma manera, es decir, hasta la exponenciación, la tetración y más allá?
$1,\omega^\beta$ son aditivamente indecomponibles (para todos los ordinales $\beta$ ).
$2,\omega^{\omega^\beta}$ son multiplicativamente indecomponibles.
¿Cómo continúa esta lista y qué aspecto tiene?
Parece que $0^0=1$ y $1^1=1$ pero $(n-1)^{n-1}>n\forall n>2\implies $ por lo que los dos primeros ordinales exponencialmente indecomponibles serían:
$2,\omega$
Es $2,\omega,\omega^{\omega^{\omega^\beta}}$ para todos los ordinales $\beta$ ¿ y así sucesivamente? ¿O la lista de casos especiales del principio se complica cada vez más, y las torres de potencia simplemente se hacen más altas o cambian? La tetrización es un asunto complicado (al menos sobre números regulares), ya que los órdenes de los exponentes importan y la regla de aplicar siempre las potencias desde la derecha no está necesariamente bien justificada, así que imagino que existe la posibilidad de llegar a considerar palabras de Dyck, etc. ¿Qué tan complicado se vuelve?
