Esta es la pregunta:
La operación binaria * está definida para $x,y \in\ S = {0,1,2,3,4,5,6}$ por
$x*y=(x^3y-xy)mod7$
Encuentre el elemento $e$ tal que $e*y=y$ para todos $y\in\ S$
Hasta ahora tengo lo siguiente:
Supongamos que $e * y=y$
$e * y = (e^3y-ey)mod7 = y$
$e^3y-ey=ymod7$
No sé cómo seguir... Necesito averiguar el valor de $e$ - aparentemente es 5.
Se agradecería mucho la ayuda. Gracias.
$$e * y = (e^3y-ey)\bmod7 = y$$ Así, $$e^3y - ey = 7k + y$$ para algunos $k \in \mathbb Z$ $$e^3y - ey - y = 7k$$ $$y(e^3-e-1) = 7k$$
El $LHS$ debe ser divisible por $7$ para todos $y \in S$ . Así, $$(e^3 -e -1)\equiv 0 \pmod 7$$
Aquí, como $e \in S$ es fácil comprobar por ensayo y error que $e=5$ .
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