Sym(V ⊕ ∧² V) isomorfo a la suma directa de todos los funtores de Schur de V

Question

Dejemos que $V$ sea una dimensión finita $K$ -espacio vectorial. Entonces, la potencia simétrica $\mathrm{Sym}\left(V\oplus \wedge^2 V\right)$ es isomorfo a la suma directa de todos los funtores de Schur aplicados a $V$ (cada uno una sola vez) como un functor de Schur.

Esto se consigue mediante la comparación de caracteres utilizando la llamada identidad de Schur

$\sum\limits_{\lambda\text{ is a partition}} s_{\lambda} = \prod\limits_i \left(1-\xi_i\right)^{-1} \cdot \prod\limits_{i < j} \left(1-\xi_i\xi_j\right)^{-1}$ ,

donde $s_{\lambda}$ denotan los "polinomios" de Schur y $\xi_i$ son contablemente muchos indeterminados (véase, por ejemplo, el capítulo 5.4 de "M. Lothaire", Combinatoria algebraica en las palabras ). Aunque es fácil que nos guste la identidad de Schur, es difícil que no nos disguste la prueba del isomorfismo "fuerte" $\mathrm{Sym}\left(V\oplus \wedge^2 V\right)\cong \bigoplus\limits_{\lambda\text{ is a partition}} \mathrm{Schur}_{\lambda}\left(V\right)$ utilizando la identidad "débil" para los polinomios de Schur. ¿Se conoce algún argumento mejor? Tal vez incluso uno que produzca una canónico ¿Isomorfismo?

Answer 1

Así es como creo que debería ser. Primero

$\mathrm{Sym}\left(V\oplus \wedge^2 V\right)\cong \mathrm{Sym}\left(V\right)\otimes \mathrm{Sym}\left(\wedge^2 V\right)$

Entonces tenemos

$\mathrm{Sym}\left(\wedge^2 V\right)\cong \sum\limits_{\lambda} \mathrm{Schur}_{\lambda}\left(V\right)$

donde la suma es sobre particiones tales que todas las partes de la partición conjugada son pares. Esto surgió en Productos tensoriales simétricos de representaciones irreducibles

El producto tensorial $\mathrm{Sym}\left(V\right)\otimes \mathrm{Schur}_{\lambda}\left(V\right)$ se conoce por la regla de Pieri.

Ahora, dada una partición, tomamos un subdiagrama máximo tal que cada columna tenga un número par de casillas. El complemento tiene forma sesgada con a lo sumo una casilla en cada columna.

Más comentarios En respuesta a la solicitud de pruebas de la teoría de la representación de los resultados utilizados, véase

MR1606831 (99b:20073) Goodman, Roe ; Wallach, Nolan R. Representaciones e invariantes de los grupos clásicos. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 68. Cambridge University Press, Cambridge, 1998. xvi+685 pp. ISBN: 0-521-58273-3; 0-521-66348-2

En particular, véase 9.2.2 Reglas de reciprocidad para la regla de Pieri y véase 5.2.6 para ver la descomposición de $\mathrm{Sym}\left(\wedge^2 V\right)$ . Los vectores de mayor peso se construyen utilizando pfaffianos.

Answer 2

Otra forma de pensar en ello. Es equivalente a mostrar que cada carácter dominante del Borel ocurre con multiplicidad uno en el álgebra polinómica sobre la cuña-2(V) + V. Ahora la multiplicidad <= 1 porque hay una órbita densa de Zariski. Para ver que cada uno ocurre: escribir los polinomios explícitos que correspondan a los pesos fundamentales (fun).