¿Probabilidad de encontrar el vacío?

Question

Consideremos un campo cuántico escalar real $\varphi (x)$ que interactúa con un campo escalar real clásico $J(x)$ : $$ \mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial \varphi)^2 - \frac{m^2}{2} \varphi^2 + \varphi J$$

Suponiendo que la fuente clásica es distinta de cero sólo en el intervalo $t_i < t < t_f$ la solución para $t>t_f$ está dada por: $$\varphi(x) = \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3 \sqrt{2 \omega_p}} \Big[ \Big( a_p + \frac{i }{\sqrt{2 \omega_p}} \tilde{J}(p) \Big) e^{-ip \cdot x} + \Big( a_p + \frac{i }{\sqrt{2 \omega_p}} \tilde{J}(p) \Big)^\dagger e^{ip \cdot x} \Big]$$

La afirmación es que la probabilidad de encontrar el sistema en el estado de vacío viene dada por $$P(0) = e^{-\lambda}$$ donde $\lambda = \Delta N$ La diferencia entre $$\big< n \big| \hat{N} \big| n \big>$$ en el futuro asintótico y en el pasado asintótico (aquí simplemente $t_f$ y $t_i$ ).

Quiero derivarlo yo mismo pero no entiendo el significado de esa probabilidad, no entiendo lo que se quiere decir con $P(0)$ . ¿Cuál es el vector de estado $\left| n \right>$ ?

Soy nuevo en la QFT, pero entiendo la QM no relativista. La terminología y el formalismo de la QFT no son tan claros para mí aquí.

Answer 1

De su solución se desprende que la fuente clásica ha desplazado los operadores de creación/aniquilación. Es decir, los operadores de creación/aniquilación en el futuro asintótico son $a_{p,+}= a_{p,-} + \frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2\omega_p}} \tilde{J}(p)$ y lo mismo para el conjugado, donde escribí $a_{p,-}$ para los modos originales $a_p$ del campo.

Ahora, la propiedad definitoria del vacío con respecto a uno de estos pares de operadores es $$ a_{p,-}\lvert 0,-\rangle = 0 \quad\land\quad a_{p,+}\lvert 0,+\rangle = 0$$ y la probabilidad que se busca es la superposición $P_{-\to +} = \lvert\langle 0,-\vert 0,+\rangle\rvert^2$ .

Por lo tanto, debemos calcular $\langle 0,-\vert 0,+\rangle$ . Para ello, observe que el vacío asintótico futuro es un estado "coherente" para los operadores de aniquilación pasados, ya que cumple $$ a_{p,-}\lvert 0,+ \rangle = -\frac{i}{\sqrt{2\omega_p}}\tilde{J}(p)\lvert 0,+ \rangle$$ por definición. Para el oscilador armónico cuántico, sabemos que un estado coherente con valor propio $\alpha$ puede escribirse como $\mathrm{e}^{-\lvert\alpha\rvert^2/2}\mathrm{e}^{\alpha(t) a^\dagger(t)}\lvert 0 \rangle$ en la imagen de Heisenberg y como $N\mathrm{e}^{\alpha(t) a^\dagger}\lvert 0 \rangle$ en la imagen de Schrödinger. Generalizando esto encontramos $$ \lvert 0,+\rangle = \exp\left(-\frac{1}{2}\int\lvert \tilde{J}(p)\rvert^2\frac{\mathrm{d}^3 p}{2\omega_p}\right)\underbrace{\exp\left(-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_p t}\mathrm{i}\int \tilde{J}(p)a_{p,-}^\dagger\frac{\mathrm{d}^3 p}{\sqrt{2\omega_p}}\right)}_{=: A}\lvert 0,-\rangle$$ y en $\langle 0,-\vert 0,+\rangle$ ahora podemos por fin dejar que $A$ actuar a la izquierda, donde todos los $a_{p,-}$ sólo dan 0, por lo que todo el operador sólo da 1, y lo que queda es $$\langle 0,-\vert 0,+\rangle = \exp\left(-\frac{1}{2}\int\lvert \tilde{J}(p)\rvert^2\frac{\mathrm{d}^3 p}{2\omega_p}\right)$$ donde el exponente de la H.R. es efectivamente la mitad de la diferencia entre el operador numérico pasado y el futuro.