¿Por qué cada número de forma ababab es divisible por $13$?

Question

¿Por qué parece que cada número $ababab$, donde $a$ y $b$ son enteros $[0, 9]$, es divisible por $13$?

Ejemplos: $747474$, $101010$, $777777$, $989898$, etc...

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ [ababab] = a\times 101010 + b \times 10101 = 13 (7770a + 777b) $$

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También es notable: $$ 10101 = 1 + 10^2 + 10^4 \equiv \\ 1 + 3^2 + 3^4 = 1 + 9 + 9^2 \equiv\\ 1 +(-4) + (-4)^2 = 1 - 4 + 16 = 13 \equiv 0 $$ donde $\equiv$ indica equivalencia módulo $13$.

Answer 2

Estos números son de la forma $(10a+b)\cdot 10101$, y $10101=13\cdot 777$.

Answer 3

Nota: $$ab=a\times 10+b\times 1$$

entonces $$ab\times 100=ab00$$ por lo tanto

$$abab=ab00+ab=ab(100+1)=ab\times 101$$ $$abab00=ab\times101\times100=ab\times10100$$ $$ababab=ab\times10101=ab\times3\times7\times13\times37$$

Por lo tanto es divisible por $3$,$7,13$ y $37$.

Answer 4

Un número $ABCDEF$ es divisible por $13$ si y solo si $ABC-DEF$ es divisible por $13$.

Nota que $\small{ABA-BAB=100(A-B)+10(B-A)+1(A-B)=91A-91B=13(7A-7B)}$.

Por lo tanto $ABA-BAB$ es divisible por $13$.

Por lo tanto $ABABAB$ es divisible por $13$.

Answer 5

$abcabc=abc(10^3+10^6)=abc\cdot 1001000=abc\cdot13\cdot77000$.

OBSERVACIÓN.-Es fácil generalizar a $abcabcabcabcabc.....abcabc$ para $2n$ veces abc.