Utilizando la definición de la integral, encuentra $\int_0^a x^2 dx$

Question

La definición de la integral que me dieron (que después de buscar por ahí parece la definición común) es el valor de la inf{suma superior a través de todas las disecciones} (la integral existe cuando ésta coincide con la sup{suma inferior a través de todas las disecciones}).

Ahora bien, cuando busqué en Internet cómo hacer la integral en cuestión, todas las soluciones decían: partición $[0,a]$ en tiras de igual anchura $(1/N)$ y luego dejar que $N$ tienden al infinito para obtener un límite $L$ etc.

Pero seguramente esto no cubre todas las disecciones posibles y tampoco puede ser un refinamiento de algunas disecciones (por ejemplo, si a es racional y tengo una disección con un punto irracional $x$ en ella entonces cualquier disección dada de la manera anterior nunca puede tener $x$ como un punto en él). Entonces, ¿por qué debería $L$ ¿el valor de la integral? Sin embargo, no sé de qué otra manera enfocar esto.

Se agradece mucho la ayuda.

Answer 1

Como tienes eso $x^2$ es continua todas las particiones darán la misma integral. Por lo tanto, $$\int_0^a x^2 =\lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^n \frac{a}{n} \cdot \frac{(ai)^2}{n^2}=\lim_{n\to \infty} \frac{a}{n^3} \sum_{i=0}^n (ai)^2=\lim_{n\to \infty} \frac{a^3}{n^3} \cdot \frac{n \cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6} $$ El límite de esto es $$\frac{a^3}{3}$$ que esperábamos.

Usamos eso $$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)}{6}$$ es.

Para ver que esta partición está permitida podemos utilizar que $x^2$ es estrictamente monótono y creciente, Así que $$\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{a}{n} \left(\frac{i}{n}\right)^2 \leq \int_0^a x^2 \, \mathrm{d}x \leq \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^n \left(\frac{i}{n}\right)^2$$

Answer 2

$$\int_0^a f(x)=Lt_{n\rightarrow\infty}^{h\rightarrow0} [1/n\left( f(0)+f(h)+f(2h)+........ +f(nh) \right)]$$ $$where, (nh)\rightarrow a \ as\ n\rightarrow \infty \ and \ h\rightarrow0$$ Ahora amplía y utiliza la fórmula de la suma utilizando G.P,A.P. , suma de cuadrados , suma de cubos etc.para obtener un único término (o más dependiendo de los términos de la propia función) en sólo $n$ y $h$ . (suma del cuadrado de n términos en el ejemplo dado) .

Ahora, pon los límites, obtienes la respuesta.

Answer 3

Un dato interesante que puede darnos una idea es el siguiente. Consideremos un intervalo $[0,1]$ y $n$ puntos $x_k$ elegido completamente al azar, excepto que $0<x_1<x_2<\ldots<x_{n-1}<x_n<1$ . Entonces, para cualquier función continua $f$ definido en este intervalo, el valor esperado de la suma de Riemann es

$$\mathbb{E}\left[\sum_{k=1}^n f(x_k) (x_k-x_{k-1}) \right] = \int_0^1 dt \: [1-(1-t)^n] f(t)$$

Una prueba de ello puede encontrarse en p. 113 de este documento . La cuestión es que, como $n \rightarrow \infty$ Cualquier suma de Riemann sobre una función, sin importar cómo se subdividan los intervalos, converge a la integral de dicha función.

Answer 4

Hay un teorema que demuestra que las funciones continuas sobre intervalos cerrados son realmente Riemann-integrable . La definición de ese término, es que el infimum y el supremum de los que hablas realmente se igualarán.

Una vez que se tiene ese teorema, entonces como $x^2$ es continua en $[0,a]$ basta con ver un refinamiento particular de $[0,a]$ . Esto explicaría por qué estaría bien utilizar una partición de tamaños de paso iguales $1/n$ y que $n\to\infty$ .

Answer 5

Estás describiendo la integral de Riemann. Y tienes toda la razón, la definición habla de todo divisiones, no sólo la división en $N$ a partes iguales. Pero se puede demostrar que si la longitud en la parte más corta es mayor que $1 /N$ , división uniforme en $N$ da una suma mínima menor y una máxima mayor. Esto demuestra que la división uniforme es suficiente.

Entonces necesitarás los valores de las sumas como: $$ \frac{1}{N} \sum_{0 \le k \le N - 1} \frac{k^2}{N^2} = \frac{1}{N^3} \sum_{0 \le k \le N - 1} k^2 $$ $$ \frac{1}{N} \sum_{1 \le k \le N} \frac{k^2}{N^2} = \frac{1}{N^3} \sum_{1 \le k \le N} k^2 $$ Es fácil ver (incluso sin calcular las sumas) que la diferencia es $\dfrac{N^2 - 0}{N^3} \rightarrow 0$ , por lo que la integral existe.