Probar este cociente de un anillo de endomorfismo es sencillo.

Question

Dejemos que $V$ ser un derecho $D$ (un anillo de división) espacio vectorial de dimensión contablemente infinita. Sea $E=\mathrm{End}(V_D)$ , entonces I es el ideal de E que consiste en endomorfismos de rango finito. La afirmación es que $R=E/I$ es un anillo simple.

Así que tomo un ideal en $R$ , digamos que $U$ que contiene adecuadamente $I$ mostraré que es unital tan impropio. Así que dejemos $f$ pertenecen a $U$ pero no $I$ por lo que no es de dimensión finita, por lo que escribo $V=\ker(f)+W$

Ahora mi álgebra lineal no es tan fuerte lo que me está dificultando aún más. ker(f) se puede escribir como sumando directo, lo sé. Pero cualquiera de $\ker(f)$ o $W$ puede tener dim finito o ambos tendrán infinito? Y T Y Lam utilizó una cosa más dejando que $\{u_1,u_2,u_3\ldots\}$ sea una base para $W$ tal que $\{f(u_1),f(u_2)\ldots\}$ serán linealmente independientes?? por qué?

Answer 1

Como usted señala $V= \ker f \oplus W$ se obtiene tomando una base $A$ para $\ker f$ y luego extender $A$ a una base $A\cup B$ de $V$ , $W$ es entonces el tramo de $B$ . Por supuesto $f$ tiene un rango infinito y, por tanto, tanto $W$ y $V$ tienen dimensión $\aleph_0$ . Ahora existen mapas lineales $g:V \rightarrow V$ y $h:V \rightarrow V$ tal que $g$ mapas $V$ en $W$ con núcleo cero y $h$ mapas $im f$ en $V$ tal que $h$ es inyectiva en $im f$ .

Ahora considere $h\circ f\circ g \in U$ esto envía $V$ de forma inyectable en $W$ entonces $f$ envía $W$ de forma inyectable en $im f$ y finalmente $h$ envía $im f$ de forma inyectable en $V$ por lo que el mapa resultante es invertible, y $U$ contiene la identidad.