Mostrando $12\mid(p^{2}-1) \space \forall$ primos $p>3$

Question

Reclamación: $$12\mid(p^{2}-1) \space \forall\text{ primes }p>3$$

Intento de prueba:

$$p>3\space\Rightarrow\space p\text{ is odd} $$ $$p^2-1=(p-1)(p+1)\space\Rightarrow2^2\mid(p^{2}-1)$$

¿Cómo puedo demostrar que $3\mid(p^2-1)$ ¿que completaría la prueba?

Answer 1

Lo sabemos, $3\mid p(p-1)(p+1)\implies 3\mid (p-1)(p+1)$ como $p>3$

Como $p$ es impar $=2a+1$ (decir), $p^2-1=(2a+1)^2=8\frac{a(a+1)}2+1-1\implies 8\mid (p^2-1)$

Así que, $lcm(3,8)\mid (p^2-1)\implies 24\mid (p^2-1)$

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Sabemos que cualquier primo $>3,$ puede escribirse como $6r\pm1$ donde $r$ es un número entero positivo.

Así que, $p^2-1=(6r\pm 1)^2-1=36r^2\pm 12r=24r^2+24\frac{r(r\pm1)}2\implies 24\mid (p^2-1)$

Obsérvese que, esto será cierto para cualquier número de la forma $6r\pm1$ no necesariamente primo.