Encontrar el número de lados de un polígono con una incógnita

Question

Un polígono regular tiene $n$ lados . Cuando el número de lados se duplica, cada ángulo interior aumenta en $20^{\circ}$ . Encuentre $n$ .

Mis trabajos hasta que me quedé atascado

$1$ ángulo int. de $n$ lados $=180^{\circ}n-360^{\circ}/n$

$1$ ángulo int. de $2n$ lados $=200^{\circ}n-360^{\circ}/n$

$1$ ángulo ext. de $2n$ lados $=-20^{\circ}n+360^{\circ}/n$

$n=360$ dividir $1$ Ángulo ext.

Lo he hecho hasta $-20n+360=360$

Entonces me quedé atascado. ¿Puedo obtener ayuda? Gracias de antemano.

Answer 1

El total de los ángulos en un $n$ -gon es $180(n-2)$ , por lo que cada ángulo es

$$a(n) = \frac{180(n-2)}{n}$$

con el ángulo medido en grados.

Así que quieres encontrar $n$ donde $a(2n) = a(n) + 20$ . Esto es lo mismo que resolver

$$\frac{180(2n-2)}{2n} = \frac{180(n-2)}{n} + 20.$$

Multiplicando por $n$ da

$$180(n-1) = 180(n-2) + 20n,$$

así que $n=9$ .

Answer 2

Suma de ángulos de $n$ -polígono lateral $=(n-2) \times 180^{\circ}$

Ahora, \begin{align*} \frac{(2n-2)}{2n} \times 180^{\circ}- \frac{(n-2)}{n} \times 180^{\circ} &= 20^{\circ} \\ [(n-1)-(n-2)] \times 180^{\circ} &= n\times 20^{\circ} \\ 180 &= 20n \\ n &= 9 \end{align*}

Answer 3

La suma de los exterior ángulos es $360^\circ$ por lo que cada ángulo exterior del polígono original es $(360/n)^\circ$ .

Duplicar el número de lados - ahora $2n$ - disminuye el ángulo exterior por $20^\circ$ . Así que:

$$\begin{align} 360/n -20 &= 360/2n \\ 360 -20n &=180\\ 20n &=180\\ n &=9\\ \end{align}$$