Los coeficientes de la serie de Fourier del producto de dos funciones de valor real

Question

Consideremos dos funciones continuas a trozos y dos veces integrables $f, g: [-\pi, \pi] \rightarrow \mathbb{R}$ y supongamos que tienen las siguientes expansiones en serie de Fourier convergentes:

$$ \begin{aligned} f(x) & = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty}\left(a_n \cos(n x) + b_n \sin(n x)\right) \\ g(x) & = \frac{\alpha_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty}\left(\alpha_n \cos(n x) + \beta_n \sin(n x)\right) \end{aligned} $$

Definir $h := fg$ y supongamos $h$ es de nuevo dos veces integrable y tiene la siguiente expansión en serie de Fourier convergente:

$$ h(x) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty}\left(A_n \cos(n x) + B_n \sin(n x)\right) $$

Puede $h$ se expresen en términos de $f$ y $g$ ¿los coeficientes de la empresa? Si no se puede responder fácilmente a la pregunta general, ¿qué pasa con el caso $g = \sin$ o $g = \cos$ ?

Answer 1

Así es como yo motivaría la solución:

En primer lugar, el problema será mucho más sencillo si se sustituye $\cos(nx)$ con la mitad de la suma de un exponencial complejo positivo y negativo y $\sin(nx)$ como la mitad de la diferencia entre la exponencial compleja positiva y la negativa, y una vez que las dos series se expresan en términos de exponenciales complejas, la multiplicación de los términos de Fourier resulta fácil.

Eso es porque el coeficiente del $m$ -El término número 1 del producto contendrá términos de las dos series de multiplicadores cuyos índices suman $m$ como por ejemplo $(m-2,2)$ , $(m-1,1)$ , $(m,0)$ , $(m+1,-1)$ , $(m+2,-2)$ y así sucesivamente, donde el primer índice de cada par se refiere a la primera serie y el segundo índice se refiere a la segunda serie, y de ahí viene la convolución sobre los índices.