Demuestre que si A es invertible, entonces $Au_1,Au_2,\ldots, Au_k$ son linealmente independientes.

Question

Hay una condición añadida de

Supongamos que $u_1,u_2,\ldots,u_k$ son linealmente independientes. Demuestre que si A es invertible, entonces $Au_1,Au_2,\ldots,Au_k$ son linealmente independientes.

mi solución

desde $u_1,u_2,\ldots,u_k$ son linealmente independientes, entonces $c_1 u_1+c_2 u_2+\cdots+c_k u_k=0$ implica $c_1,\ldots$ son todos cero.

multiplicando A por ambos lados, tenemos $c_1 A u_1+c_2 A u_2+\cdots =c_k A u_k=0$ ya que todas esas c sólo pueden ser 0, por lo tanto $Au_1,Au_2,\ldots,Au_k$ son linealmente independientes.

Fíjate que no he utilizado la suposición de que A es invertido y aún así he obtenido la respuesta. Me pregunto si mi respuesta es correcta o incorrecta...

Answer 1

El problema es que no has prestado suficiente atención a lo que intentas demostrar. Quieres demostrar que los vectores $Au_1,\dots,Au_k$ son linealmente independientes. Escribe exactamente lo que esto significa: quieres demostrar que si alguna combinación lineal $c_1Au_1+\ldots+c_kAu_k=0$ , entonces $c_1=\ldots=c_k=0$ . El enfoque más directo para demostrar una si-entonces es asumir la hipótesis y llegar a la conclusión. No siempre es el mejor enfoque, ni siquiera un enfoque factible, pero es el más sencillo y, por lo tanto, merece la pena echarle un vistazo.

Supongamos, pues, que $c_1Au_1+\ldots+c_kAu_k=0$ . ¿Cómo puede esperar razonablemente demostrar que $c_1=\ldots=c_k=0$ ? Una forma sería encontrar de alguna manera vectores linealmente independientes $v_1,\dots,v_k$ tal que $c_1v_1+\ldots+c_kv_k=0$ entonces se podría utilizar la independencia lineal del $v_i$ para concluir que $c_1=\ldots=c_k=0$ . Pero, ¿dónde podrían estar estos $v_i$ ¿de dónde viene? Bueno, sabemos que $u_1,\dots,u_k$ son linealmente independientes, y son los únicos vectores sobre los que se nos ha dado alguna información, así que tal vez deberíamos intentar demostrar que $c_1u_1+\ldots+c_ku_k=0$ . ¿Hay alguna manera de deducir eso de la hipótesis de que $c_1Au_1+\ldots+c_kAu_k=0$ ? Aquí es donde se utilizará la información que $A$ es invertible.

Answer 2

Supongamos que $c_1Au_1+\ldots+c_kAu_k=0$ . Entonces $A(c_1u_1+\ldots+c_ku_k)=0$ . Desde $A$ es invertible, tenemos $c_1u_1+\ldots+c_ku_k=0$ . Desde $u_1,\ldots,u_k$ son linealmente independientes, tenemos $c_1=\ldots=c_k=0$ . Por lo tanto, $Au_1,\ldots,Au_k$ son linealmente independientes.

Answer 3

Una pista: Supongamos por negación que son linealmente dependientes y escribamos una combinación lineal no trivial que sume cero.

Ahora bien, este es el paso en el que si el $A$ no estuvieran allí, entonces tendrías una combinación lineal no trivial de los $u_{i}$ que suman cero, ¿puede deshacerse del $A$ recuerda que $A$ es invertible significa que que existe $A^{-1}$

AÑADIDO : Tu "prueba" es incorrecta. Lo que has hecho es tomar algo de la forma $0+...+0=0$ y lo multiplicó por $A$ (cada uno $c_i$ es cero, así que básicamente has sumado ceros).

Usted comenzó con todos los coeficientes como cero (antes de multiplicar por $A$ ), esto no muestra cómo cualquier combinación lineal es cero.

Para ver esto más claramente digamos que le doy todo el coeficiente como $1$ es decir..: $Au_{1}+...+Au_{k}$ y afirmo que $Au_{1}+...+Au_{k}=0$ ¿puede usted rastrear a partir de su prueba que esto no puede suceder?

Está claro que es un error para tomar $A=0$ entonces está claro que $\{Au_{i}\}_{i=1}^{i=k}$ es linealmente dependiente ya que todos los vectores son $0$ . La suposición sobre $A$ es importante