Una fracción algebraica curioso que converge a $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Question

He notado que la fracción algebraica

$\frac{3a+2b}{4a+3b} $

Da mejor y mejores aproximaciones a $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Para $ a = b = 1$ obtenemos $5/7 \approx 0.714 $

Ahora, teniendo en $ a = 5, b = 7$, obtenemos $ 29/41 \approx 0.707$

Todas las veces, tomar

$ a_{n+1} = 3a_n + 2b_n$

$ b_{n+1} = 4a_n+3b_n$

Y este proceso converge a $\frac{\sqrt{2}}{2} $

He llegado a este resultado por un casual consideración. Cuando me tome la aproximación $5/7$, me pregunto ¿qué sucede si debo escribir los números de $5$ $7$ como una función de dos cantidades $a, b$ con el fin de obtener una mejor aproximación por iteraciones sucesivas, en el que la primera aproximación es el caso de la $ a = b = 1$. Así que he escrito $ 5 = 3a + 2b$ y el número de $7 = 4a+3b$ me han seleccionado tanto el numerador y el denominador sean números consecutivos, y sorprendentemente, esto da mejores aproximaciones a $\frac{\sqrt{2}}{2}$

La pregunta ahora es: ¿cómo demostrar que, de hecho, esta fracción algebraica, con la describe de la iteración anterior, converge al valor deseado?

Answer 1

Supongo que te refieres $$ \eqalign{ a_{n+1} &= 3 a_n + 2 b_n\cr b_{n+1} &= 4 a_n + 3 b_n\cr}$$

Que es $X_{n+1} = A X_n$ donde$X_n = \pmatrix{a_n\cr b_n\cr}$$A = \pmatrix{3 & 2\cr 4 & 3\cr}$. La razón por la que esto funciona es que el $A$ tiene los autovalores $3 \pm 2 \sqrt{2}$, con autovector $\pmatrix{1\cr \sqrt{2}\cr}$$3 + 2 \sqrt{2}$.

De manera más general, supongamos $A$ $m \times m$ real de la matriz con un simple autovalor $\lambda > 0$, y todos los demás valores propios tienen valor absoluto estrictamente menor que $\lambda$. Deje $V$ ser un autovector normalizado para $\lambda$. Entonces para casi cualquier vector inicial $X_0$, los vectores $X_n = A^n X_0$ satisfacer $X_n / \|X_n\| \to \pm V$ $n \to \infty$.

Answer 2

Interesado por tu post, he estado jugando con $$a_{n+1}=\alpha\,a_n+(\alpha -1)\,b_n$$ $$b_{n+1}=(\alpha+1)\,a_n+\alpha\,b_n$$ using $ a_0 = b_0 = 1 $. I shall not reproduce here the formulae for $ a_n $ and $ b_n$.

Focusing on the limit $$L_\alpha=\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}$$ I was able to find some interesting results $$L_2=\frac{1}{\sqrt{3}}$$ $$L_3=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$L_4=\sqrt{\frac{3}{5}}$$ $$L_5=\sqrt{\frac{2}{3}}$$ $$L_6=\sqrt{\frac{5}{7}}$$ $$L_7=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$L_8=\frac{\sqrt{7}}{3}$$ $$L_9=\frac{2}{\sqrt{5}}$$ which correspond to $$L_\alpha=\sqrt{\frac{\alpha-1}{\alpha+1}}$$ which, as Winther commented, correspond to the positive solution of equation $$x=\frac{\alpha x+(\alpha-1)}{(\alpha+1) x+\alpha}$$

Answer 3

Creo que podemos dividir la relación de $(3a + 2b)/(4a + 3b)$ más. Deje $a/b$ ser una aproximación racional a $1/\sqrt{2}$. Entonces puedo demostrar que $(a + b)/(2a + b)$ es una mejor aproximación a $1/\sqrt{2}$ pero en dirección opuesta.

Claramente tenemos $$\left(\frac{a + b}{2a + b}\right)^{2} - \frac{1}{2} = \frac{b^{2} - 2a^{2}}{2(2a + b)^{2}} = \frac{b^{2}}{(2a + b)^{2}}\left(\frac{1}{2} - \frac{a^{2}}{b^{2}}\right)$$ so that $Y = \left(\dfrac{a + b}{2a + b}\right)^{2} - \dfrac{1}{2}$ and $X = \dfrac{a^{2}}{b^{2}} - \dfrac{1}{2}$ have opposite signs and $|Y| < |X|$ y por lo tanto la afirmación del párrafo anterior se establece.

La aplicación de la transformación $a/b \to (a + b)/(2a + b)$ dos veces en $a/b$ tenemos $$\frac{3a + 2b}{4a + 3b}$$ and we are thus ensured that if $a/b$ is a rational approximation to $1/\sqrt{2}$ then $\dfrac{3a + 2b}{4a + 3b}$ is a better approximation to $1/\sqrt{2}$ in the same direction. Since a bounded and monotone sequence is convergent it follows that repeated application of the transformation $a/b \a (3a + 2b)/(4a + 3b)$ to any positive rational number $a/b$ converges to $1/\sqrt{2}$.

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Por CIERTO, esto viene de un ejercicio de Hardy es Un Curso de Matemáticas Puras en la página 11, Ejemplos III, el problema 3), pero Hardy lo utiliza para $\sqrt{2}$:

Mostrar que si $m/n$ es una buena aproximación a$\sqrt{2}$, $(m + 2n)/(m + n)$ mejor, y que los errores en los dos casos están en direcciones opuestas.