¿Encontrar un valor de c que permita que la antiderivada pase por el origen?

Question

Lo más probable es que este problema tenga que ver con el segundo teorema fundamental del cálculo (SFTOC), pero no entiendo por qué la respuesta es la que es:

Dado $f$ es una función continua impar, y $F$ es otra función definida como

$F(x)=\displaystyle\int_{-12}^{x}f(3t-c)dt$

qué valores de $c$ hará $F$ y $F'$ pasar por el origen?

(pregunta parafraseada)

Realmente no entiendo por qué las respuestas son $c=-18$ y $c=0,$ respectivamente. Tampoco veo cómo encaja el SFTOC.

Answer 1

$$F(x)=\int_{-12}^x f(3t-c)dt$$ Utilizando la integración por sustitución, podemos tomar $t\to t/3$ para conseguir $$F(x)=\frac{1}{3}\int_{-36}^{3x} f(t-c)dt$$ y $t\to t+c$ para conseguir $$F(x)=\frac{1}{3}\int_{-36-c}^{3x-c} f(t)dt$$ Ahora considere $F(0)$ : $$F(0)=\frac{1}{3}\int_{-36-c}^{-c} f(t)dt$$ Si la función $F$ pasa por el origen, tenemos que $$F(0)=0$$ $$\frac{1}{3}\int_{-36-c}^{-c} f(t)dt=0$$ Esto ocurre en dos casos. El primero es cuando los puntos inicial y final de la integral son iguales, y el segundo es cuando son opuestos (ya que $f$ es impar). Por lo tanto, tenemos que $$-36-c=-c$$ o $$36+c=-c$$ La primera opción no puede ocurrir, y la segunda ocurre cuando $c=-18$ .

Ahora resolveremos la segunda parte del problema: ya que $$F(x)=\frac{1}{3}\int_{-36-c}^{3x-c} f(t)dt$$ entonces $$F'(x)=f(3x-c)$$ Si queremos $F'$ para pasar por el origen, $$F'(0)=0$$ y así $$f(-c)=0$$ Desde $f$ es impar, este $f(0)=0$ Así que esto ocurrirá definitivamente cuando $$-c=0$$ o $$c=0$$ .