Hace $\sigma(\frac{m}{n})=\frac{\sigma(m)}{\sigma(n)}$ donde $\sigma$ es la función de suma de divisores?

Question

Mi pregunta es la misma que la del título. Por favor, ayúdenme a demostrar la siguiente afirmación si es que es cierta.

Lo que he probado: Para el valor específico de $m$ y $n$ la igualdad parece mantenerse.

Hace $\sigma(\frac{m}{n})=\frac{\sigma(m)}{\sigma(n)}$ donde $\sigma$ es la función de suma de divisores?

Si no es así, ¿cuáles son las condiciones para $m$ y $n$ tal que la condición anterior sea cierta.

Muchas gracias.

Answer 1

Dejar $N(k)=k$ para todos $k$ para que $N$ es una función completamente multiplicativa. Por un conocido resultado de la teoría elemental de las funciones aritméticas, esto implica que $$ \sigma(n)=\sum_{d|n}N(d) $$ es también una función multiplicativa. Así, como señaló Will Jagy, si $n|m$ y $\gcd(n,\frac{m}{n}=1)$ tenemos $$ \sigma(m)=\sigma(n\frac{m}{n})=\sigma(n)\sigma(\frac{m}{n}) $$ del que se desprende el resultado indicado