Evaluación de la integral $\oint _{ C }^{ }{ \frac { 2{ z }^{ 2 }+5 }{ { \left( z+2 \right) }^{ 3 }\left( { z }^{ 2 }+4 \right) { z }^{ 2 } } dz } $

Question

Parece que encontrar el residuo y luego aplicar el Teorema del Residuo" es demasiado largo . Me gustaría saber si hay una forma más breve de evaluar esta integral aparte de aplicar el Teorema del Residuo. $$\oint _{ C }^{ }{ \frac { 2{ z }^{ 2 }+5 }{ { \left( z+2 \right) }^{ 3 }\left( { z }^{ 2 }+4 \right) { z }^{ 2 } } dz } $$
donde el contorno aquí es $\left| z-2i \right| =6$

Answer 1

Sí, hay una forma más fácil de hacerlo. Por el teorema del residuo, tu integral de contorno es igual a $2\pi i$ veces la suma de los residuos dentro de $C.$ Pero no hay más cantos que los de dentro $C.$ Así, cualquier contorno que contenga $C$ puede hacer la misma afirmación. Así que si $R$ grande, digamos $R>100,$ tenemos

$$\int_C { \frac { 2{ z }^{ 2 }+5 }{ { \left( z+2 \right) }^{ 3 }\left( { z }^{ 2 }+4 \right) { z }^{ 2 } } dz } = \int_{|z|=R}{ \frac { 2{ z }^{ 2 }+5 }{ { \left( z+2 \right) }^{ 3 }\left( { z }^{ 2 }+4 \right) { z }^{ 2 } } dz }.$$

Ahora considere la integral de contorno de la derecha. En valor absoluto, no es más que $2\pi R$ veces el máximo del integrando en valor absoluto. Este máximo, en función de $R,$ es del orden de $\dfrac{ R^2}{R^3\cdot R^2\cdot R^2}.$ Se deduce que el límite de la integral de la derecha, como $R\to \infty,$ es $0.$ Bueno, si el límite de algo que es constante es igual a $0,$ entonces ese algo es constantemente $0.$ Por lo tanto, la integral de contorno de la izquierda es igual a $0.$