sobre los elementos positivos en un $C^*$ - álgebra

Question

Dejemos que $A$ ser un $C^*$ -Álgebra.

Dejemos que $\pi: A \rightarrow A/I$ sea el homomorfismo canónico *-, donde $I$ es un ideal cerrado de A.

Demuestre que si $k$ es positivo en $A/I$ entonces existe un elemento positivo $a$ en $A$ tal que $\pi(a)=k$ .

Sé que desde $k$ es autoadjunto, podemos encontrar un autoadjunto $x \in A$ tal que $\pi(x)= k $ .

Además, sabemos que para cualquier $x\in A$ , $x^*x$ es positivo.

Así que $\pi(x^*x) = \pi(x^*) \pi (x) = kk$ . Pero aquí no estoy seguro de cómo utilizar la positividad de $k$ para mostrar $x$ es positivo.

Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

Dejemos que $x\in A$ sea autoadjunto con $\pi(x)=k$ . Escriba $x=x^+-x^-$ con $x^+,x^-$ positivo y $x^+x^-=0$ . Entonces $$ k=\pi(x^+)-\pi(x^-). $$ La unicidad de la descomposición más-menos implica que $\pi(x^-)=0$ . Explícitamente, \begin{align} 0&\leq\pi(x^-)^{1/2}k\pi(x^-)^{1/2}=\pi((x^-)^{1/2}x^+(x^-)^{1/2}-(x^-)^2)\\[0.3cm] &=-\pi(x^-)^2, \end{align} lo que implica que $\pi(x^-)=0$ .