¿Cómo se utiliza la base dual para transformar un vector en un escalar?

Question

Supongamos que tenemos un espacio vectorial V con base $e_1 = (1,1,2)$ , $e_2 = (1,0,1)$ y $e_3 = (2,1,0)$ en $\mathbb R^3$ en $\mathbb R$ . Su base dual resulta ser $e_1' = (1/3,2/3,1/3)$ , $e_2' = (2/3,4/3,1/3)$ , $e_3' = (1/3,1/3,1/3)$ .

Ahora, dado un vector de $V$ ¿cómo ayuda esta base dual a encontrar el mapeo $V\rightarrow F$ ? Es decir, cómo es la operación que toma un vector $v$ de $V$ y convertirlo en un número? ¿O es sólo una base para los funcionales lineales que convertirán un vector de $V$ a un escalar? ¿Cómo construyo los funcionales lineales a partir de esta base dual?

No sé si es una pregunta correcta, pero supongo que no he entendido algún aspecto clave y espero que esta pregunta lo ponga de manifiesto.

Answer 1

El $e'_i$ son en realidad las coordenadas de los vectores de la base dual. Si te entiendo bien, $V=\mathbb R^3$ por lo que la base canónica (es decir, la base dual de $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}\subset \mathbb R^3$ es $\{\phi_1,\phi_2,\phi_3\}$ , donde $$\phi_1(x_1,x_2,x_3)=x_1,$$ $$\phi_2(x_1,x_2,x_3)=x_2,$$ $$\phi_3(x_1,x_2,x_3)=x_3.$$ Así que si su $e'_i$ son coordenadas en esta base canónica, se tiene $$e'_1=-\tfrac13\cdot \phi_1+\tfrac23\cdot\phi_2+\tfrac13\cdot\phi_3,$$ y así sucesivamente para $e'_2$ y $e'3$ .

Así, por ejemplo, $$e'_1(x_1,x_2,x_3)=-\tfrac13\cdot x_1+\tfrac23\cdot x_2+\tfrac13\cdot x_3,$$ y si quisieras -sólo por decir algo- $e'_1(2,-1,0)$ , eso sería $$e'_1(2,-1,0)=-\tfrac13\cdot 2+\tfrac23\cdot (-1)+\tfrac13\cdot 0=-\tfrac 43.$$

Answer 2

$e^i(e_j)=\delta _i^j$ , donde $\delta _i^j=\begin{cases} 1, i=j\\ 0, i\not =j\end{cases}$ es el Delta de Kronecker .

Utiliza este hecho y la linealidad para evaluar...

Ejemplo: $(-\frac13,\frac23,\frac13)(1,1,2)=-\frac13\cdot 1+\frac23\cdot 1+\frac13\cdot 2=-\frac13 +\frac23+\frac23=\frac13+\frac23=1$

De la misma manera, $(-\frac13,\frac23,\frac13)(1,0,1)=0$ y $(-\frac13,\frac23,\frac13)(2,1,0)=0$ .

En general, $(-\frac13,\frac23,\frac13)(a,b,c)=-\frac13 a+\frac23b+\frac13 c$ .

Cualquier función lineal $\phi$ en $V^*$ estará dada por una combinación lineal de la base dual: $\phi= a_1e^1+\dots+a_ne^n$ .

La base dual es una base para el espacio dual. Así, $V$ y $V^*$ tienen la misma dimensión (cuando $V$ es de dimensión finita).