¿Estoy hablando bien?

Question

Intento describir el valor esperado. Mi párrafo va:

De la teoría de la probabilidad tenemos $E[f(x)] = \int{f(x)p(x)dx}$ . Es decir, el valor esperado de $f(x)$ es igual a la suma de infinitesimales $f(x)dx$ ponderado por la probabilidad de que $f$ debe asumir esos valores $f(x)$ en cada $x$ .

¿Estoy hablando de infinitesimales correctamente? Estoy pensando en la integral que suma productos infinitesimales $f(x)p(x)dx$ Pero no estoy seguro de si he hecho una referencia al uso de infinitesimales aquí en mi notación o concepción.

Answer 1

Si tiene una probabilidad densidad $p(x)$ Entonces sí que escribiría: "El valor esperado de $f(x)$ es igual a la suma de $f(x)$ ponderado por la probabilidad infinitesimal de que $X\in[x,x+dx]$ que es $p(x)dx$ "

Así que hay dos cosas que suceden aquí. En primer lugar $p(x)$ es una densidad de probabilidad, ya que $p(x)$ tiene unidades de probabilidad por unidad $x$ ( $x$ puede ser la longitud, la edad, lo que sea). En otras palabras $p(x)$ por sí misma NO es una probabilidad en el sentido habitual, necesita ser multiplicada por el $dx$ para convertirse en una probabilidad infinitesimal. Esta es una especie de explicación de la física de la densidad de probabilidad.

A continuación, al escribir $E[f(X)]$ uno tiene dos opciones. La primera opción es expresar $E[f(X)]$ en términos de la densidad de probabilidad de $X$ Es decir $p(x)$ . En este sentido, tenemos $E[f(X)]=\int f(x)p(x)dx$ . En otras palabras, estamos consultando primero el dominio de $f$ como una variable aleatoria y luego aplicar $f$ . La otra opción es escribir el valor esperado en términos de la densidad de $f(X)$ como una variable aleatoria. En este caso definiríamos $g(y)$ como la probabilidad de que $f(x)\in[y,y+dy]$ . En este caso estamos consultando el gama de $f$ como una variable aleatoria, que hereda su aleatoriedad del dominio aleatorio $X$ . Así que para cualquier evento $A$ , $P(f(X)\in A)=P(X\in f^{-1}(A))$ donde el lado derecho es una cantidad conocida ya que conocemos la distribución de $X$ . A saber, obtenemos $E[f(X)]=\int yg(y)dy$ .