Encuentra el vector ortogonal de $f(x, y) = x^2y+y^3$ en un punto determinado

Question

Pregunta: Qué vector dado es perpendicular a la siguiente curva en el punto (1, 2). $$f(x, y) = x^2y+y^3 = 10$$

Mi intento: Tomando las derivadas parciales de esta función, pude encontrar que el gradiente de la función es $(4, 13)$ . Como el producto punto de dos vectores es cero si son ortogonales entre sí, concluí que la respuesta es $<-13, 4>$ . Sin embargo, esto resultó ser incorrecto.

Desde mi punto de vista, imagino que la función de gradiente es similar a una función de pendiente pero en 3D y que contiene información sobre la tasa de cambio de la función en un punto determinado. Pero también he visto en Internet imágenes en las que la función gradiente es perpendicular a la propia función, lo que me resulta bastante confuso ya que la función pendiente nunca es perpendicular a la función original.

Agradecería mucho que alguien me explicara esto. Gracias de antemano.

Answer 1

Piensa en el gradiente $\nabla(f)$ como la relación de cambio en $f$ al cambio de posición en $x-y$ plano. Ahora imagina lo que sucede si caminas a lo largo de la curva $f=10$ es decir $\Delta f=0$

$$ \begin{align} 0&=\Delta f\\ \\ &=\lim_{\Delta x, \Delta y \to 0}{\nabla(f)}\cdot(\Delta x \hat{i} +\Delta y \hat{j}) \end{align} $$

Por lo tanto, $(-13,4)$ que encuentras no es en realidad el vector perpendicular a la curva sino que es en realidad un vector tangente a la curva en ese punto. El vector que buscas es en realidad el perpendicular a ésta. Oh, espera, es $\nabla(f)$ perpendicular a $(-13,4)$ ? :)