Extensión finita, transformación lineal y polinomio minimal.

Question

Sea $K = F(a)$ una extensión finita de $F$. Para $\alpha \in K$, sea $L_{\alpha}$ la transformación de $K$ a $K$ definida por $L_{\alpha}(x) = \alpha x$. Muestra que $L_{\alpha}$ es una transformación lineal sobre $F$. También muestra que $\det(xI - L_{\alpha})$ es el polinomio minimal $\min(F,a)$ de $a$. ¿Para qué valores de $\alpha \in K$ se cumple que $\det(xI-L_{\alpha})=\min(F,\alpha)$?

Ya he demostrado que $L_{\alpha}$ es una transformación lineal sobre $F$. ¿Cómo puedo mostrar que $\det(xI - L_{\alpha}) = \min(F,a)$? Agradezco cualquier pista, sin dar soluciones directas. ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Pista: $P = \det(xI-L_\alpha)(L_\alpha)=0$ Cayley-Hamilton, $P(L_\alpha)(1)=0$, se deduce que $\alpha$ es raíz de $P$, si $P=QR$ mostrar que $\alpha$ es raíz de $Q$ o $R$, se deduce que $[K:F]$ es el grado de $Q$ o $R$. Se deduce que $Q=P$ o $R=P$ hasta un escalar.