Conectado en $|e^z - 1|$

Question

Estoy tratando de mostrar que $|e^z - 1| < e - 1$ cuando $|z| < 1$ . La pista es considerar $e^z - 1 = \int_0^z e^w dw$ . Gracias.

Answer 1

Dejemos que $\gamma$ sea la línea recta que une $0$ a $z$ . Observe que $$ e^z - 1 = \int_\gamma e^w \, dw = \int^1_0 z \cdot e^{tz} \, dt = z \cdot \int^1_0 e^{tz}\,dt. $$ Entonces tenemos $$ |e^z-1| = \left| \int_\gamma e^w \, dw \right| = |z| \cdot \left| \int^1_0 e^{tz}\,dt \right| \leq \int^1_0 |e^{tz}|\,dt = \int^1_0 e^{\Re(tz)}\,dt, $$ donde $\Re(tz)$ es la parte real de $tz$ . Tenemos $\Re(tz) < t$ (¿por qué?), para que $$ \int^1_0 e^{\Re(tz)}\,dz < \int^1_0 e^t = e - 1\,dt. $$

Answer 2

Considere $\vert e^z -1 \vert = \vert \int_0^z e^w dw \vert$ . Desde $e^w$ es holomorfo para $\vert w \vert < 1$ la ruta que elegimos para evaluar $\int_0^z e^w dw$ puede elegirse libremente dentro del disco de la unidad abierta $\{z: \vert z \vert<1 \}$ para $z = re^{i \theta}$ elegimos el camino $w(\rho) = \rho e^{i\theta}$ con $\theta$ constante y $0 \le \rho \le r <1$ . Entonces $dw = e^{i \theta}d\rho$ y $e^{w(\rho)} = e^{\rho e^{i\theta}} = e^{\rho \cos \theta +i \rho \sin \theta} = e^{\rho \cos \theta}e^{i \rho \sin \theta}$ . Así,

$\vert \int_0^z e^w dw \vert = \vert \int_0^r e^{w(\rho)} e^{i\theta} d\rho \vert = \vert \int_0^r e^{\rho \cos \theta} e^{i \rho \sin \theta} e^{i\theta} d\rho \vert \le \int_0^r \vert e^{\rho \cos \theta} e^{i \rho \sin \theta} e^{i \theta} \vert d\rho$ $= \int_0^r e^{\rho \cos \theta} d\rho \le \int_0^r e^\rho d\rho = e^r -1 < e - 1 \tag{1}$

desde $r < 1$ . Hemos utilizado los hechos que $\vert e^{i \rho \sin \theta} \vert = \vert e^{i \theta} \vert = 1$ y $e^{\rho \cos \theta} \le e^\rho$ (ya que $\cos \theta \le 1$ ) en la formación de esta estimación. QED.

Espero que esto ayude. Adiós,

y como siempre,

¡¡Fiat Lux!!

Answer 3

Dejemos que $z = a + bi$ con $a^2 + b^2 < 1$ . Así que $|e^z - 1|^2 = |e^a\cdot e^{ib} - 1|^2 = |e^a\cdot cosb - 1 + i\cdot e^a \cdot sinb|^2 = (e^a\cdot cosb - 1)^2 + e^{2a}\cdot sin^2b = e^{2a} - 2\cdot e^a \cdot cosb + 1 = f(a,b)$ .

Tomando las derivadas parciales de $f$ con respecto a $a$ y $b$ y los hace iguales a $0$ que tenemos:

$\dfrac{\partial f}{\partial a} = 2\cdot e^{2a} - 2\cdot e^a\cdot cosb = 0$

$\dfrac{\partial f}{\partial b} = 2\cdot e^a\cdot sinb = 0$

Resolviendo este sistema tenemos: $b = 0$ y $a = 0$ . Y esto da $f_{min} = f(0,0) = 0$ .

Para encontrar $f_{max}(a,b)$ , dejemos que $a \to 0^+$ y $b \to 1^-$ y que $a \to 1^-$ y $b \to 0+$ que tenemos: $f_{max}(a,b) < max\{f(0,1), f(1,0)\} = max\{0.919395,(e - 1)^2\}$ . Así, $|e^z - 1| < \sqrt{max\{0.919395,(e - 1)^2\}} = e - 1$