Infinitos números primos de la forma $n^{2^k}+1$ ?

Question

No soy un especialista en teoría de números, así que disculpe mi ignorancia: ¿la siguiente pregunta sigue siendo un problema abierto? Sea $k \in \mathbb{N}^*$ ¿existen infinitos números primos de la forma $n^{2^k}+1$ ?

Answer 1

Su pregunta sigue abierta. Es un caso especial de Hipótesis de Schinzel H aplicado al polinomio $f(x)=x^{2^k}+1$ .

Como menciona Bjorn en su comentario, el caso de $k=1$ es un problema particularmente famoso sin resolver. Es el cuarto de Los problemas de Landau (Edmund Landau fue un famoso teórico numérico alemán de principios del siglo XX).

Answer 2

Me llevó un tiempo encontrar esto: http://www.pnas.org/content/94/4/1054.full

De todos modos, por Friedlander y Iwaniec (1997). Demostraron que hay infinitos primos de la forma $x^2 + y^4 .$ Mencionan cerca del final que no tienen una prueba para los primos de la forma $x^2 + y^6 $ pero me gustaría tener uno. Así que hay un camino que recorrer para llegar a un acuerdo $x^2 + 1.$

Para tu información, lo que hice (sin recordar título, autores, nada más que el resultado) fue escribir un programa para dar los primos $x^2 + y^4 $ y poner la primera docena en la función de búsqueda del sitio de la secuencia de Sloane.

Answer 3

Sí, todavía es una cuestión abierta