El mapa equivariante preserva el estabilizador

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo y $X$ un conjunto equipado con un transitivo a la derecha $G$ -acción. Además, dejemos que $c: X\to X$ ser un $G$ -equivariante. ¿Es cierto que $\text{Stab}(x) = \text{Stab}(c(x))$ para todos $x\in X$ ?

Esta no parece ser una pregunta interesante de mathoverflow por sí misma, pero la razón por la que pregunto es la siguiente: En el libro de Hovey sobre las categorías de modelos, Hovey demuestra una especie de lema de cinco para las categorías de modelos puntuales (Thm.6.5.3). Al final de la demostración, parece concluir que $\alpha\text{Stab}(x)\alpha^{-1}\subset\text{Stab}(x)$ que la igualdad se mantiene; no entiendo cómo se puede hacer esto. La afirmación anterior proviene de un intento de arreglar esta brecha.

Answer 1

Eso es esencialmente lo mismo que esta pregunta . Así que la respuesta es negativa: si $X=H\backslash G$ el estabilizador de $Ha\in X$ es $a^{-1}Ha$ ; si $b$ es cualquier elemento tal que $bHb^{-1}\subset H$ el mapa $$Ha\mapsto Hba$$ es $G$ -equivariante; si $bHb^{-1}\ne H$ , obtenemos un contraejemplo.