Criterios para $p$ siendo un número primo.

Question

Estoy tratando de probar el siguiente problema:

$p$ es un primo si para todo $n\in \mathbb{Z}$ con $n\not \equiv 0\mod p$ tenemos $n^{p-1}\equiv 1 \mod p$ .

La ( $\Rightarrow$ ) es fácil: tenemos que si $p$ es un primo, entonces $n\not \equiv 0\mod p$ equivale a $(n,p)=1$ y luego usamos el pequeño teorema de Fermat.

Tengo problemas con la segunda dirección: He leído que el pequeño teorema de Fermat tiene una inversa (el teorema de Lehmer) que cambia ligeramente la hipótesis pero no sé si es útil para mi problema y cómo puedo utilizarlo.

Answer 1

La otra implicación, que usted asume $p$ no es primo, basta con tomar un divisor no trivial de $p$ , $n$ y luego, en aras de la contradicción, suponer $n^{p-1}\equiv_p 1$ entonces $ n \mid p \mid n^{p-1} - 1 $ Así que $n \mid 1$ contradicción con $n$ sea un divisor no trivial.

Answer 2

Observación: $p$ es primo si $(p,k)=1$ para todos $k$ s.t $1<k<p$ .

Dejemos que $k$ s.t $1<k<p$ entonces, por hipótesis, tenemos $k^{p-1}\equiv 1$ mod $p$ por lo que existe $m\in \Bbb Z$ s.t $k^{p-1}=1+mp$ Así que $k.k^{p-2}+(-m)p=1$ por el teorema de Bezout obtenemos $(k,p)=1$ .