$π(x+y) - π(x) ≤ c·y/\ln(y)$ para alguna constante $c$ ?

Question

(He publicado esta pregunta en Math SE pero no ha tenido respuesta desde hace un año, así que me gustaría preguntar si alguien aquí puede proporcionar una).

Pensando en el teorema de los números primos, me pregunté si se sabe que hay alguna constante $c$ tal que $π(x+y) ≤ π(x) + c·y/\ln(y)$ para todos los enteros $x,y > 1$ . He leído que los expertos creen que $π(x+y) ≤ π(x) + π(y)$ falla para algunos $y$ , ya que falla por $y = 3159$ si se cumple la conjetura de la k-tupla pero es apenas falsa, así que tengo curiosidad por saber si se sabe que es verdadera si la desigualdad se relaja en un factor constante. Si es así, ¿se sabe también que $π(x+y) ≤ π(x) + π(y) + c·\!\sqrt{y}·\ln(y)$ para alguna constante $c$ ? Simplemente no sé cómo buscar tales conjeturas, y tampoco Wikipedia ni Wolfram Parece que hay resultados que afirman o refutan estas dos conjeturas con facilidad, por lo que se agradecería cualquier referencia.

Answer 1

Como mencioné en mi comentario, Montgomery y Vaughan ( El gran tamiz , Mathematika 20 (1973) 119-132, doi: 10.1112/S0025579300004708 ) mostró una versión explícita de la desigualdad Brun--Titchmarsh: $$ \pi(x+y) - \pi(x) \le \frac{2y}{\log y}. $$

La otra pregunta formulada es probablemente falsa. Hensley y Richards ( Primas en intervalos Acta Arithmetica 25 (1974) 375-391, EuDML ) demostró que el Hardy-Littlewood $k$ -La conjetura de las tuplas contradice la hipótesis de que $\pi(x+y) -\pi(x) \le \pi(y)$ . De hecho, su documento establece que (en el $k$ -conjetura de las tuplas) se tiene (para grandes fijos $y$ y un número infinito de $x$ ) $$ \pi(x+y) -\pi(x) \ge \pi(y) + (\log 2 -\epsilon) \frac{y}{(\log y)^2}. $$ Aproximadamente el límite inferior que obtienen es $2 \pi(y/2)$ (y también se discuten algunas mejoras conjeturales sobre esto).