Determine si la siguiente cadena de Markov es recurrente positiva, recurrente nula o transciente

Question

Consideramos la cadena de Markov con probabilidades de transición $$ p(i,0)=\frac{1}{i^2 +2},\qquad p(i,i+1)= \frac{i^2 +1}{i^2 +2}. $$

Determine si esta cadena de Markov es recurrente positiva, recurrente nula o transciente.

Mi intento: Como todos los estados están conectados a $0$ entonces basta con determinar si $0$ es un estado recurrente positivo. Considere $T_{0}$ el tiempo de golpeo, es decir $$T_{0}=\inf\left\{m\geq 1\: :\: X_{m}=0\right\}.$$ Tenga en cuenta que $$ \mathbb{P}(T_{0}=n|X_{0}=0)=\left(\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\cdots\times\frac{(n-2)^2+1}{(n-2)^{2}+2}\right)\left(\frac{1}{(n-1)^{2}+2}\right) $$ Por lo tanto, tenemos $$ \mathbb{E}(T_{0}|X_{0}=0)=\sum_{n=1}^{\infty}n\times \left(\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\cdots\times\frac{(n-2)^2+1}{(n-2)^{2}+2}\right)\left(\frac{1}{(n-1)^{2}+2}\right). $$ Necesito determinar si esta serie converge o diverge. He intentado acotarla superior e inferiormente pero no he encontrado buenos límites.

Answer 1

Maneja el producto en la suma tomando registros:

$$\eqalign{ \log \prod_{i=0}^{n-2} \frac{i^2+1}{i^2+2} &= \sum_{i=0}^n \log\left(1 - \frac{1}{i^2+2}\right)\\ &\ge -\sum_{i=0}^n \frac{1}{i^2+2} \\ &\gt -\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i^2+2} \\ &\gt -\frac{1}{2} - \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i^2} \\ &= -\frac{3+\pi^2}{6}. }$$

En consecuencia, se puede subestimar la suma como

$$\eqalign { \sum_{n=1}^\infty n \prod_{i=0}^{n-2} \frac{i^2+1}{i^2+2} \frac{1}{(n-1)^2+2} & \gt \frac{1}{e^{(3+\pi^2)/6}} \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(n-1)^2+2}. }$$

El lado derecho diverge (compárese con $\int_1^\infty \frac{x}{x^2+2}\mathrm{d}x$ ).