Encuentre cada $a>0$ tal que $\int_2^{\infty} \frac{x^6(1+\cos^2 x)}{(x-1)^2(x+1)^2x^a} dx$ converge

Question

Sabemos que $\forall x \in [2,+\infty)$ ,

$$\frac{x^6(1+\cos^2 x)}{(x-1)^2(x+1)^2x^a} \leq \frac{2x^6}{(x-1)^2(x+1)^2x^a}$$

Y es fácil demostrar que $\int_2^{\infty} \frac{2x^6}{(x-1)^2(x+1)^2x^a} dx$ converge si y sólo si $a>3$ .

Pero ¿es legítimo concluir que nuestra primera integral converge si y sólo si $a>3$ ? El criterio de comparación dice que si $0 \leq f\leq g$ entonces, si $g$ converge, $f$ converge. Pero lo contrario no es válido. ¿Estamos perdiendo algún valor posible para $a$ ?

Por ejemplo, se da la siguiente equivalencia:

$$\int_2^{\infty} \frac{x^6(1+\cos^2 x)}{(x-1)^2(x+1)^2x^a} dx = \int_2^{\infty} \frac{2x^6}{(x-1)^2(x+1)^2x^a} dx - \int_2^{\infty} \frac{x^6(\sin^2 x)}{(x-1)^2(x+1)^2x^a} dx$$

¿No deberíamos demostrar que $\int_2^{\infty} \frac{x^6(\sin^2 x)}{(x-1)^2(x+1)^2x^a} dx$ converge a $0$ ?

Estoy confundido.

Answer 1

Es cierto que $\frac{x^6(1+\cos^2 x)}{(x-1)^2(x+1)^2x^a} \leq \frac{2x^6}{(x-1)^2(x+1)^2x^a}$ . Lo que también es cierto es que $\frac{x^6}{(x-1)^2(x+1)^2x^a} \leq \frac{x^6(1+\cos^2 x)}{(x-1)^2(x+1)^2x^a}$ . En conjunto, esta desigualdad es $$\frac{x^6}{(x-1)^2(x+1)^2x^a} \leq \frac{x^6(1+\cos^2 x)}{(x-1)^2(x+1)^2x^a} \leq \frac{2x^6}{(x-1)^2(x+1)^2x^a}$$

El lado izquierdo diverge para $a \leq 3$ . El lado derecho converge para $a > 3$ . Por tanto, la integral converge si y sólo si $a > 3$ .

Answer 2

Dejemos que $f(x)$ sea el integrando dado y $g(x)=x^{2-a}(1+\cos^{2}x)$ . Puede comprobar fácilmente que $\frac {f(x)} {g(x)} \to 1$ como $ x \to \infty$ . Por lo tanto, $\int_2^{\infty} f(x)dx$ es finito si $\int_2^{\infty} g(x)dx$ es finito. Ahora usando el hecho de que $x^{2-a} \leq g(x) \leq 2x^{2-a}$ podemos concluir que $\int_2^{\infty} g(x)dx$ es finito si $\int_2^{\infty} x^{2-a}dx$ es finito. Claramente, esto es cierto si $a >3$ .