Pregunta sobre los ideales y los espacios vectoriales

Question

Es la primera vez que escribo en este foro.

Mi pregunta se refiere a una frase que leí en la página 27 de "Campos numéricos algebraicos" de "Gerald J. Jansuz".

El montaje es el siguiente: Sea $R \subset R'$ sean anillos Dedekind y $\mathfrak{p}$ sea un ideal primo en $R$ . Entonces $\mathfrak{p} R'$ tiene una factorización única $\mathfrak{p} R' = \mathfrak{B}_1^{e_1} \dots \mathfrak{B}_g^{e_g}$ .

No entiendo muy bien esta afirmación que se escribió en el libro: "El anillo $R' / \mathfrak{B}_i^{e_i}$ no es un espacio vectorial sobre $R' / \mathfrak{B}_i$ a menos que $e_i = 1$ pero los cocientes $\mathfrak{B}_i^a / \mathfrak{B}_i^{a+1}$ son espacios vectoriales sobre $R' / \mathfrak{B}_i$ ."

Sería estupendo si alguien puede aclararme lo que dice el libro. En concreto no entiendo muy bien cómo se multiplica el escalar con el vector en este último caso cuando se trata de un espacio vectorial. Siento mucho si esta pregunta es muy elemental pero no consigo entenderlo.

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Está claro que $\mathfrak{B}_i^a / \mathfrak{B}_i^{a+1}$ es un $R'$ -módulo: $\mathfrak{B}_i^a$ es un ideal, por tanto un módulo, y contiene $\mathfrak{B}_i^{a+1}$ como submódulo, dando $\mathfrak{B}_i^a / \mathfrak{B}_i^{a+1}$ una estructura de módulo factorial.

Ahora bien, en cuanto a cualquier $x \in \mathfrak{B}_i$ y $y \in \mathfrak{B}_i^{a}$ el elemento $xy$ está en $\mathfrak{B}_i^{a+1}$ el aniquilador de $\mathfrak{B}_i^a / \mathfrak{B}_i^{a+1}$ contiene $\mathfrak{B}_i$ . Esto induce una $R'/\mathfrak{B}_i$ -estructura de módulo en $\mathfrak{B}_i^a / \mathfrak{B}_i^{a+1}$ que es de hecho una estructura de espacio vectorial como $\mathfrak{B}_i$ es primo en un anillo Dedekind y, por tanto, maximal. En otras palabras: $\mathfrak{B}_i^a / \mathfrak{B}_i^{a+1}$ es un $R'/\mathfrak{B}_i$ -espacio vectorial donde la multiplicación se define multiplicando dos representantes arbitrarios.

Esto no funciona para $R'/\mathfrak{B}_i^{e_i}$ para $e_i>1$ porque en los anillos Dedekind tenemos $\mathfrak{B}_i^{a+1} \subsetneq \mathfrak{B}_i^a$ y, por tanto, no todos los elementos de $\mathfrak{B}_i$ están en el aniquilador. Así que multiplicando por elementos en $R'/\mathfrak{B}_i$ no está bien definida, ya que depende del representante elegido.

Answer 2

Si $A$ es un anillo (por ejemplo $R'$ en su caso) y $m$ es un ideal máximo (por ejemplo $\mathfrak B_i$ en su caso), entonces $k:= A/m$ es un campo.

Así que cualquier $A$ -que es eliminado por $m$ es en realidad (automáticamente) un $A/m$ -es decir, un $k$ -es decir, un $k$ -v.s. (Recuerda --- espacio vectorial sólo significa módulo para el cual el anillo que actúa es un campo).

Ahora $A/m^2$ no es un campo (normalmente, a menos que $m = m^2$ (lo que no ocurre en tu caso), por lo que es un módulo sobre sí mismo, pero no un v.s. sobre nada.

Pero $A/m$ y $m/m^2$ son ambos $A$ -módulos muertos por $m$ Por lo tanto, ambos $A/m$ -es decir, los dos $k$ -espacios vectoriales.

Answer 3

Desde $\mathfrak{B}_i$ es un ideal primo en el anillo Dedekind $R'$ es un ideal máximo y el cociente $R'/\mathfrak{B}_i$ es un campo. Dado $r+\mathfrak{B}_i\in R'/\mathfrak{B}_i$ el producto escalar de este elemento con $x+\mathfrak{B}_i^{a+1}$ (con $x\in \mathfrak{B}_i^a$ ) es el coset $rx + \mathfrak{B}_i^{a+1}$ .

Esto está bien definido: primero, porque $\mathfrak{B}_i^a$ es un ideal, $rx\in \mathfrak{B}_i^a$ . A continuación, si elegimos diferentes representantes $r'$ y $x'$ para estos cosets, podemos escribir $r = r'+b_1$ y $x = x'+b_2$ para $b_1\in \mathfrak{B}_i$ y $b_2\in \mathfrak{B}_i^{a+1}$ . Entonces tenemos

$$rx - r'x' = b_1x' + b_2r'+b_1b_2\in \mathfrak{B}_i^{a+1},$$ por lo que

$$rx + \mathfrak{B}_i^{a+1} = r'x' + \mathfrak{B}_i^{a+1}.$$