Dejemos que ${\bf f}:U\to \mathbb R^{n-k}$ sea una función continuamente diferenciable. Entonces ${\bf f}^{-1}(0)$ es un colector si $[{\bf D}{\bf f}(x)]$ es suryente en todo $x$ . Esto equivale a la condición de que $[{\bf D}{\bf f}(x)]\neq 0$ para todos $x\in M$ .
Dado un $M$ descrito de esta manera, ¿es siempre posible encontrar un ${\bf f}$ tal que $\{\nabla f_1,\dots,\nabla f_{n-k}\}$ es un conjunto de derivadas parciales linealmente independientes?
La respuesta es que las derivadas parciales ciertamente no serán siempre independientes, pero los gradientes sí. Esto se debe a que los gradientes formarán las filas de la matriz (para satisfacer la condición de subjetividad la matriz $[{\bf D f}]$ debe ser una matriz ancha con rango completo de filas. Los parciales forman las columnas de esta matriz y los gradientes las filas. La conclusión es la siguiente.
[Nótese que mi afirmación de que el conjunto de gradientes era un conjunto linealmente independiente de derivadas parciales no tiene sentido].
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