Calcule el límite de $\int_\mathbb{R} f(x)\sin (nx)$ cuando $n\to\infty$ , para $f \in L^1$ seguimiento

Question

Dejemos que $f \in L^1(\mathbb{R})$ . Encuentre $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(nx) dx \,. $$

Aquí hay un intento:

Si utilizamos una aproximación simple de la función, terminamos con algo de la forma $$\int_\mathbb{R} \sum_{i=1}^{k}c_i \chi_{E_i}(x)\sin(nx)dx = \sum_{i=1}^k c_i \int_{E_i} \sin(nx)dx$$ que va a $0$ como $n \to \infty$ (El $E_i$ se puede elegir que sean disjuntos). Mi problema es que al menos uno de estos $E_i$ sería necesariamente infinito. ¿Cómo puedo arreglar esto?

¿Basta entonces con tomar una secuencia de funciones simples $s_m$ tal que $$||s_m - f ||_{L^1} < \epsilon$$ para $n \geq N$ y cada $s_m$ está de acuerdo con $s_{m-1}$ en su suma, excepto el término infinito en el que divide el infinito $E_i$ más allá? Es decir, supongamos que $$s_{m-1} = \sum_{i=1}^{k} c_i \chi_{E_i}$$ con $||s_{m-1} - f||_{L^1} < \epsilon$ . Wlog, supongamos que $E_k$ tiene una medida de Lebesgue infinita. Entonces seguramente existe $s_m$ con $$ s_m = s_{m-1} + c_k'\chi_{E_k'} + c_{k+1}\chi_{E_{k+1}}$$ donde $E_k' \cup E_{k+1} = E_k$ y $||s_m - f||_{L^1} < \epsilon$ . ¿Esto es suficiente? ¿Puedo proceder entonces a afirmar que

$$\lim_{n \to \infty} \int_\mathbb{R} (\lim_{m \to \infty} s_m) \sin(nx) \, dx = 0$$ intercambiando la suma y los límites para obtener $$\sum_{i=1}^{\infty} \lim_{n \to \infty}\int_{E_i} c_i \sin (nx) \, dx$$ con $\mu (E_i) < \infty$ ? ¿O no está justificado este intercambio?

El post anterior sobre esta cuestión es aquí .
Resumen del puesto anterior: Utilice la continuidad uniforme de la función lineal $$\mathcal{F}(f) = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^\infty f(x)\sin(nx) dx$$ que se extienda a todos los $L^1$ utilizando la densidad de algo.

Answer 1

Pista: hay un intervalo finito $E$ tal que $\int_{E^c} |f(x)| \; dx < \epsilon$ . Entonces aproxima la restricción de $f$ a $E$ por funciones simples...

Answer 2

Primero probaría el enunciado del límite para $f\in L^1$ que también es una función escalonada: $f(x) = \sum_{k=1}^n 1_{(a_k,b_k]}(x)\cdot c_k$ , donde $a_1<b_1\le a_2<b_2<\cdots\le a_n<b_n$ y el $c_k$ son reales. Entonces demuestre que un general $f\in L^1$ se puede aproximar en $L^1$ por dichas funciones escalonadas. Para este segundo paso puede ser útil aproximar primero $f\in L^1$ por funciones continuas de soporte compacto.