Ecuación puramente imaginaria $p(x)=0$ con coeficiente real

Question

La ecuación cuadrática $p(x)=0$ con coeficiente real tiene raíces puramente imaginarias. Entonces la ecuación $p(p(x))=0$ tiene

(A) sólo raíces puramente imaginarias

(B) todas las raíces reales

(C) dos raíces reales y dos puramente imaginarias

(D) ni raíces reales ni puramente imaginarias

La respuesta oficial es (D)

Mi enfoque es el siguiente

Aunque la pregunta se ha resuelto en este sitio web, pero no lo considere como un duplicado como me gustaría poner mi método para la lectura

$p\left( {p\left( x \right)} \right) = 0$

$p\left( x \right) = a{x^2} + bx + c = 0$

${b^2} - 4ac < 0$

$T = p\left( x \right)\& T > 0$

$a{x^2} + bx + c > 0$

$p\left( T \right) = 0 = a{T^2} + bT + c$

${b^2} - 4ac < 0$ pero $T > 0$ contradicción por lo que la ecuación no es ni real ni imaginaria

¿Mi enfoque para resolver coincide con el procedimiento estándar

Answer 1

Si tiene raíces puramente imaginarias, eso significa básicamente que $$p(x)=ax^2+b\,,$$ donde $a,b$ son números reales no nulos del mismo signo. De ello se deduce que $$p(p(x))=a(ax^2+b)^2+b\,.$$ La solución a esto es $$ax^2+b=\pm\sqrt{\frac{b}{a}}i\,,$$ que muestra claramente que $x$ no puede ser ni real ni puramente imaginario porque en ese caso el lado izquierdo sería un número real mientras que el lado derecho es puramente imaginario.

Answer 2

Como tiene coeficientes reales. Podemos WLOG suponer que las raíces son $li,-li$ donde $l$ es un verdadero $l\neq 0$ .así $$p(x)=a(x-li)(x+li)=a(x^2+l^2)$$ Aquí $a$ es un verdadero $a\neq 0$

Ahora $$p(p(x))=0 \Rightarrow p(x)=li,-li$$

Es fácil ver $$a(x^2+l^2)=li,a(x^2+l^2)=-li$$ no tiene raíces reales ni puramente imaginarias

Answer 3

Dejemos que $r$ sea una raíz puramente imaginaria de $p(x)$ entonces la otra raíz es $\bar r=-r$ por lo que podemos escribir $p(x)=(x-r)(x-(-r))=x^2-r^2$ .

Dejemos que $T=p(x)$ entonces queremos encontrar las raíces de $p(p(x))=p(T)=0$ . Sabemos que las raíces son $T=r,-r$ . Así, $x^2-r^2=\pm r\implies x^2=r^2\pm r$ . Desde $r^2\in\Bbb R-\{0\}$ y $r$ es un número complejo puramente imaginario no nulo, $r^2\pm r$ no es real. Así que $x$ no puede ser puramente imaginario o real.