Dada una matriz C, calcula $e^C e^{C^T}$ y $e^{-C}$ .

Question

Dada:

$$\mathcal C=\pmatrix{-5&3&-3\\2&-4&1\\2&-2&-1}$$

Calcula: $e^C e^{C^T}$

Calcula: $e^{-C}$

Estoy utilizando la fórmula $\mathcal f(C)=\mathcal S f(\lambda)\mathcal S^{-1}$ Por lo tanto, he utilizado Matlab para calcular $det(\lambda I-\mathcal C)=0$ para obtener mis valores propios:

$\lambda_1=-5$ , $\lambda_2=-3$ y $\lambda_3=-2$ .

Para $\lambda_1=-5$ :

$$U_1=\pmatrix{-2&-1&-1\\0&-3&3\\0&0&0}$$

Para $\lambda_2=-3$ :

$$U_2=\pmatrix{2&-3&3\\0&-2&2\\0&0&0}$$

Pero para $\lambda_3=-2$ :

$$U_3=\pmatrix{3&-3&3\\0&0&1\\0&0&0}$$

Por lo tanto:

$$\Lambda=\pmatrix{-5&0&0\\0&-3&0\\0&0&-2}$$

Y $$S=\pmatrix{-1&0&0\\1&1&0\\1&1&0}$$

Lo que da una inexistente $\mathcal S^{-1}$ ¡¡!! ¿Podría alguien decirme qué ha fallado? ¿Debería ser capaz de calcular los exponenciales de esta manera..... o hay otra forma de resolver este problema? Cualquier ayuda es muy apreciada como siempre :)

Answer 1

Obviamente, resolvió $U_3x=0$ erróneamente. Como $U_3$ es singular, tiene una solución no trivial, como $(1,1,0)^T$ por ejemplo.

Answer 2

Tenga en cuenta que, sólo tiene que calcular $e^{C}$ con todo detalle, entonces puedes utilizar las relaciones entre los valores propios de una matriz y su transposición. Esta es la respuesta final a la que debes llegar

$$e^{C} =\left[ \begin {array}{ccc} {{\rm e}^{-5}}&-{{\rm e}^{-5}}+{{\rm e}^{- 2}}&-{{\rm e}^{-2}}+{{\rm e}^{-5}}\\{{\rm e}^{-3}}- {{\rm e}^{-5}}&{{\rm e}^{-5}}+{{\rm e}^{-2}}-{{\rm e}^{-3}}&-{{\rm e}^ {-2}}+2\,{{\rm e}^{-3}}-{{\rm e}^{-5}}\\{{\rm e}^{- 3}}-{{\rm e}^{-5}}&-{{\rm e}^{-3}}+{{\rm e}^{-5}}&2\,{{\rm e}^{-3}}-{ {\rm e}^{-5}}\end {array} \right] .$$