El punto del triángulo se mantiene igual

Question

El punto $C$ del triángulo $ABC$ se encuentra en la perpendicular a $AB$ Punto de la depresión $T$ . $\alpha$ es el ángulo $\angle BAC$ . Punto $D$ se encuentra en una línea con el $\angle CBD=\alpha$ . El punto $E$ se encuentra en la perpendicular a $AC$ a través de $D$ . Prueba de que $E$ está en $AB$ y se mantiene igual, mientras se mueve $C$ en la perpendicular.

He demostrado que $D$ , $A$ y $E$ están en un Círculo utilizando el teorema de Tales ( como en esta foto ). Pero ahora estoy atascado.

Answer 1

Set $AT = a$ , $BT = b$ y $CT = c$ . La especificación de estas longitudes especifica completamente la imagen; todo lo que tenemos que hacer ahora es demostrar que $AE$ depende de $a$ y $b$ pero no $c$ .

Podemos encontrar $AC$ y $BC$ utilizando el teorema de Pitágoras. Porque $\triangle ABC$ y $\triangle BDC$ son similares (dos de sus ángulos son iguales), podemos utilizar relaciones de igualdad para resolver $CD$ en términos de $AC$ y $BC$ ya que $AC = AD + CD$ podemos resolver para $AD$ también.

El segundo par de triángulos semejantes es $\triangle ACT$ y $\triangle AED$ : comparten $\angle A$ y ambos son triángulos rectos. Así que $\frac{AE}{AD} = \frac{AC}{AT}$ y podemos resolver para $AE$ .

Si haces la aritmética correctamente, deberías obtener $AE = \frac{a^2-b^2}{a}$ que no depende de $c$ .

Answer 2

El cuadrilátero $ETCD$ está inscrito ya que tiene ángulos rectos en $D$ y $T$ . Así que $AE\times AT=AD \times AC=AC^2-CD\times CA$ . El círculo a través de $A,D,B$ es tangente a $CB$ desde $\angle DAE= \angle CBD$ Así que $CD \times CA=CB^2$ . Combinando estas identidades se obtiene $AE \times AT=AC^2-CB^2=AT^2-TB^2$ por el teorema de Pitágoras. De ello se desprende que $AE \times ET$ no depende de $C$ y así $E$ es un punto fijo.