Demuestre que la serie $\sum (-1)^n \frac{n}{(n^2 + v_n)}$ converge.

Question

Dejemos que $\{v_n\}_{n \in\mathbb N}$ sea una secuencia tal que $ 0 \leq v_n \leq n $ para todos $n \in\mathbb N$ . Demuestre que la serie $$ \sum (-1)^n \frac{n}{n^2 + v_n} $$ converge.

Tengo una pregunta que quiero resolver. Normalmente he resuelto preguntas que tienen términos con 'n' pero esta tiene una secuencia en el término y no estoy seguro de cómo empezar.

Pensé en empezar con el Test de Convergencia Absoluta y/o el Test de Series Alternas pero no pude ir muy lejos. ¿Puede alguien ayudarme a resolver esto?

¡Gracias!

Answer 1

Es una pregunta un poco rara, pero se puede resolver utilizando la prueba de las series alternas. Los límites impuestos a $v_n$ garantizar que $\frac{n}{n^2 + v_n}$ converge monótonamente a $0$ : \begin{align*} \frac{n}{n^2 + v_n} - \frac{n+1}{(n+1)^2 + v_{n+1}} &= \frac{n((n+1)^2 + v_{n+1}) - (n+1)(n^2 + v_n)}{((n+1)^2 + v_{n+1})(n^2 + v_n)} \\ &= \frac{n^2 + n + n v_{n+1} - (n+1)v_n}{((n+1)^2 + v_{n+1})(n^2 + v_n)} \\ &\ge \frac{n^2 + n + n v_{n+1} - (n+1)n}{((n+1)^2 + v_{n+1})(n^2 + v_n)} \\ &= \frac{n v_{n+1}}{((n+1)^2 + v_{n+1})(n^2 + v_n)} \\ &\ge 0. \end{align*} Así, $\sum (-1)^n \frac{n}{n^2 + v_n}$ converge (en este caso, condicionalmente).

Answer 2

Para utilizar a Leibniz es necesario mostrar

1) $a_n:=\frac {n}{n^2+v_e}$ está disminuyendo.

$0\lt \frac{n}{n^2+n} \le a_n \le \frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}$ ;

$\frac{1}{n+1} \le a_n \le \frac{1}{n}.$

$a_n-a_{n+1} \ge \frac{1}{n+1} -\frac{1}{1+n} =0$ .

2) $0< a_n \le 1/n,$ por lo que $\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0.$

Answer 3

Tenga en cuenta que $a_n=\frac{n}{n^2+v_n}$ está disminuyendo porque $$ a_n=\frac{n}{n^2+v_n}\geq\frac{n}{n^2+n}=\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{n(n+1)}\geq\frac{n+1}{(n+1)^2+v_{n+1}}=a_{n+1} $$ Además, $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ .